Digamos que tengo 750 dólares y quiero al menos 1250 dólares al final de un juego 50/50 donde puedo apostar cualquier valor posible. ¿Hay alguna forma de aumentar mis posibilidades de ganar? Y si la hay, ¿cómo puedo definir la mejor apuesta inicial para ser doblada?
(Al principio pensé que problemas como estos eran fáciles de resolver y que no había forma posible de "ganar", pero al mismo tiempo tengo algunas dudas al respecto y no conozco la explicación matemática para ello).
Por "juego 50/50" supongo que te refieres a que puedes hacer cualquier secuencia de apuestas justas en $50/50$ de las probabilidades, siempre y cuando no apueste más de lo que tiene en ese momento. Como se trata de apuestas justas, su valor esperado al final es el mismo que su fortuna inicial, $750$ . Siempre que se asegure que los únicos resultados finales posibles son $0$ y $1250$ se maximiza la probabilidad de terminar con $1250$ . Por lo tanto, una posible estrategia es: siempre que tenga $x$ donde $0 < x < 1250$ , apueste el mínimo de $x$ y $1250 - x$ . Con probabilidad $1$ Al final, acabará en uno de los dos lugares siguientes $1250$ o $0$ .
Su probabilidad óptima de llegar a \$1250 from \$ 750 con apuestas justas es 60% y no puedes hacerlo mejor. Una estrategia de hacerlo es la que da la respuesta de @Robert más arriba, llamada " juego audaz " en la literatura. Si sigues su estrategia, te encuentras a lo largo del siguiente árbol:
Se toma cada camino de este árbol de apuestas con probabilidad $1/2$ . Si su probabilidad inicial de ganar a partir de \$750 es x, entonces una de las tres cosas sucede en su camino a la victoria:
Así que tenemos la ecuación $$x = 0.5 + 0.0625 + 0.0625x,$$ y cuando se resuelve, aprendemos que $x = 9/16 + x/16$ o $15x/16 = 9/16$ De ahí que $x = 9/15 = 0.6$ . (El otro $40\%$ probabilidad es que te arruines).
¿Por qué no podemos hacerlo mejor que $60\%$ ? Considera tu fortuna $W_n$ en el $n$ y se imagina que hace la apuesta $A_n$ con sujeción a las restricciones $A_n = 0$ si $W_n \geq 1250$ o $W_n = 0$ , $0 \leq A_n \leq W_n$ . Entonces $W_n$ es un uniformemente integrable martingala porque su probabilidad de ganar en cada apuesta es $1/2$ y $$0 \leq W_n \leq 2*(1250-1) = 2498$$ es una secuencia acotada por arriba y por abajo. Esto significa que $W_n$ converge casi con seguridad y en $L^1$ a una variable aleatoria acotada $W_\infty$ , que representa sus ganancias limitadas. El $L^1$ La convergencia es crucial aquí, ya que significa $$\Bbb{E}[W_\infty] = 750.$$
Ha "ganado" su secuencia de apuestas si $W_\infty \geq 1250$ . ¿Cuál es la probabilidad de eso? Por La desigualdad de Markov , $$\Bbb{P}(W_\infty \geq 1250) \leq \frac{\Bbb{E}[W_\infty]}{1250} \leq \frac{750}{1250} = 60\%.$$
(Si ha empezado con $x$ dólares en cambio, el mismo argumento muestra que tiene un $x/1250$ posibilidad de llegar a \$1250, siendo una forma de hacerlo el juego audaz).
Por lo tanto, el juego audaz le da la "mejor oportunidad posible" de llegar a los 1250 dólares, aunque también es la "peor posibilidad" entre las estrategias que logran $60\%$ como el otro $40\%$ de tu tiempo pierdes todos tus $750 iniciales.
Otras estrategias de apuesta distintas del juego audaz pueden dejarle con una mayor probabilidad de una fortuna límite no nula $W_\infty$ (un ejemplo: apuesta $1/(n+1)$ de su patrimonio actual $W_n$ en el número de la apuesta $n$ o $1250 - W_n$ lo que sea menor). Pero ninguna estrategia, por muy inteligente o intrincada que sea, puede hacerlo mejor que un $60\%$ posibilidad de alcanzar \$1250 from an initial stake of \$ 750.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
