¿Podemos tener $x^n\equiv (x+1)^n \pmod m$ para que sea lo suficientemente grande $n$ ?

Question

$x^n\equiv (x+1)^n$ ¿Para qué valores de m y n podemos encontrar una x que lo resuelva?

Answer 1

En su pregunta no queda claro qué es fijo y qué varía. Para ilustrar: suponga que quiere una solución con $n=10$ --- es que una cantidad suficientemente grande $n$ ? Muy bien, entonces elige tu favorito $x$ digamos, $x=42$ . A continuación, calcule $43^{10}-42^{10}$ y llamarlo $Q$ . Entonces, si $m$ es $Q$ o cualquier factor de $Q$ Tendrá $(x+1)^n\equiv x^n\pmod m$ .

Si no es eso lo que quieres, edita tu pregunta para aclararlo.

Editando cosas de los comentarios:

1. Para los fijos $n\gt3$ probablemente sea difícil encontrar una caracterización útil de esos $m$ para el que existe una solución.

2. Para los fijos $m$ , dejemos que $n=\phi(m)$ entonces $x^n\equiv(x+1)^n\equiv1\pmod m$ proporcionado $x$ y $x+1$ son relativamente primos a $m$ .

3. Hay (muchas) soluciones que no tienen la forma del punto 2.

Answer 2

A riesgo de presentar un ejemplo trivial: podemos incluso tenerlo para un tamaño lo suficientemente pequeño $m$ . Sólo deja que $m=1$ . Cualquier número entero (mod $1$ ) es equivalente a cero.

$x^n \equiv (x+1)^n$ (mod $1$ ).

EDIT: Su conjetura también es válida si $n=0$ . $x^0 = (x+1)^0$ .