multiplicidad de una representación irreducible

Question

Esta es una pregunta bastante básica, y me encantaría que me respondieran.

La multiplicidad $m_V$ de una representación irreducible $V$ en la representación $W$ del grupo $G$ viene dada por $$ m_V = \dim \left( Hom(V,W)^G \right) $$

donde $Hom(V,W)^G$ es el espacio de $G$ -homomorfismos de módulos de $V$ a $W$ .

¿Cómo ver esto?

Answer 1

Supongamos que se trata de representaciones de un grupo finito $G$ que la dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ .

Desde $W$ es semisimple podemos descomponer $W$ en sumandos directos irreducibles como $$ W = W_1 \oplus \dotsb \oplus W_n. $$ Por el lema de Schur $$ \dim\operatorname{Hom}(V, W_i)^G = \begin{cases} 0 & \text{($V \not\cong W_i$)} \\ 1 & \text{($V \cong W_i$)} \end{cases} $$ para cada $1 \le i \le n$ . Por lo tanto, tenemos $$ \begin{align*} \dim \operatorname{Hom}(V, W)^G &= \sum_{i=1}^n \dim \operatorname{Hom}(V, W_i)^G \\ &= m_V. \end{align*} $$