Ecuación cuadrática con coeficientes matriciales

Question

Si tengo una ecuación de la forma

$${\lambda ^2}{I_N} + \lambda {M_1} + {M_2} = {0_N}$$

donde ${I_N}$ es la matriz de identidad de orden $N$ , $M_1$ y $M_2$ son matrices de ( $N\times N$ ) y $\lambda \in \mathbb C$ pertenece a los números complejos .

¿Cuáles son las herramientas matemáticas o el marco matemático para resolver este tipo de ecuaciones?

Answer 1

Para que la ecuación tenga solución, sus matrices $M_1$ y $M_2$ debe necesariamente conmutar. Este sería sólo un requisito. Para ver esto, consideremos el caso de la diagonalizable $M_2$ para que $ PM_2P^{-1} = D$ para algunos invertibles $P$ y la diagonal $D$ .

\begin{align} P\left(\lambda^2 I_N + \lambda M_1 + M_2 = 0_N\right)P^{-1} \\ \lambda^2 I_N + \lambda PM_1P^{-1} + D = 0_N \end{align}

Aquí podemos ver que $M_1$ no sólo debe tener el mismo espectro que $M_2$ (ya que, de lo contrario, los elementos no nulos de la diagonal no se cancelarían en la suma), pero debe tener los valores propios adecuados, de manera que el único $\lambda$ resuelve simultáneamente para cada término diagonal.

tl:dr: resolver para $\lambda_1$ y $\lambda_2$ en cualquier coordenada deseada. Compruebe si alguno de los dos funciona globalmente. Si no es así, entonces no hay solución.

Answer 2

Para que la igualdad sea cierta, tenemos que comprobar que para $ \{M_1\}_{ij} $ y $ \{M_2\}_{ij} $ tenemos $$ \lambda^2 \delta_{ij} + \lambda \{M_1\}_{ij} + \{M_2\}_{ij} = 0 $$

donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker y $ 1 \leq i,j \leq n $ .

Probablemente haya una forma mejor de investigarlo - estoy pensando en ello ahora. Ciertamente, desde el $i \neq j$ caso, nos quedamos con una única ecuación variable, por lo que a lo sumo tenemos una $\lambda $ como solución.

Answer 3

Efectivamente, por la respuesta de Adam W, $M_1$ está sin pérdida de generalidad en la forma canónica de Jordania, por lo que $M_1 = \bigoplus_{k=1}^M (\mu_k I_{n_k} + N_{n_k})$ para $\mu_k$ los valores propios (contados con la noción pertinente de multiplicidad) y $N_{n_k}$ las matrices nilpotentes adecuadas. Entonces $$\lambda^2 I_N + \lambda M_1 = \bigoplus_{k=1}^M ((\lambda^2 + \lambda\mu_k) I_{n_k} + \lambda N_{n_k}),$$ para que $M_2$ debe tener necesariamente la forma análoga de la diagonal en bloque $$M_2 = \bigoplus_{k=1}^M (\alpha_k I_{n_k} + \beta N_{n_k})$$ para algunas constantes $\alpha_k$ y $\beta$ . Por lo tanto, cuando el polvo se asienta, te quedas con el sistema de ecuaciones cuadráticas $$\lambda^2 + \mu_k \lambda - \alpha_k =0$$ junto con la ecuación adicional $\lambda = \beta$ siempre que $M_1$ (y por lo tanto también $M_2$ ) no es diagonal. ¿Creo que esto debería ser correcto?