Enfoque Hamiltoniano

Question

Resuelve el problema del péndulo plano utilizando el enfoque Hamiltoniano y muestra que H es una constante de movimiento.

Enfoque: Suponiendo que signifique péndulo simple por péndulo plano, he calculado el Hamiltoniano como una función de $\theta$, $l$ (longitud del péndulo), $p_\theta$

Pero ¿qué significa que H es una constante de movimiento?

Answer 1

$$H = \frac{p^2}{2m\ell^2} + mg\ell(1-\cos\theta)$$

$H=T+V$ es la energía total del sistema. Ahora las ecuaciones de Hamilton serán: $$\dot p=-mg\ell\sin\theta\qquad\dot \theta=\frac{p}{m\ell^2}$$ Una constante del movimiento es una cantidad que se conserva a lo largo del movimiento.

$$ \frac{\mathrm dH(q,p,t)}{\mathrm dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\dot q + \frac{\partial H}{\partial p}\dot p + \frac{\partial H}{\partial t} = -\dot p\dot q + \dot q\dot p + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} $$ Entonces el Hamiltoniano se conserva si no depende explícitamente de $t$.

Answer 2

Si la masa del bob es $m$, la longitud del "brazo" es $l$, y el ángulo que el brazo forma con la vertical es $\theta$, la velocidad $v$ del bob es

$v = l\dot \theta; \tag 1$

se sigue que la energía cinética es

$T(\dot \theta) = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}ml^2 {\dot \theta}^2; \tag 2$

además, si asumimos que la posición de "reposo" del péndulo, donde cuelga "recto hacia abajo", es en $\theta = 0$, entonces la energía potencial es

$V(\theta) = mg(l - l \cos \theta) = mgl(1 - \cos \theta); \tag 3$

el Lagrangiano para este sistema es entonces

$L(\theta, \dot \theta) = T(\dot \theta) - V(\theta) = \dfrac{1}{2}ml^2 {\dot \theta}^2 - mgl(1 - \cos \theta); \tag 4$

el momento canónico asociado con la coordenada $\theta$ es

$p_\theta = \dfrac{\partial L(\theta, \dot \theta)}{\partial {\dot \theta}} = ml^2\dot \theta, \tag 5$

lo cual, de acuerdo con la prescripción usual, conduce al Hamiltoniano

$H(p_\theta, \theta) = p_\theta \dot \theta - L(\theta, \dot \theta) = ml^2 {\dot \theta}^2 - \dfrac{1}{2}ml^2 {\dot \theta}^2 + mgl(1 - \cos \theta)$ $=\dfrac{1}{2}ml^2 {\dot \theta}^2 + mgl(1 - \cos \theta) = \dfrac{p_\theta^2}{2ml^2} + mgl(1 - \cos \theta), \tag{6}$

de donde podemos escribir directamente las ecuaciones de movimiento de Hamilton:

${\dot p}_\theta = -\dfrac{\partial H(p_\theta, \theta)}{\partial \theta} = -mgl\sin \theta, \tag 7$

$\dot \theta = \dfrac{\partial H(p_\theta, \theta)}{\partial p_\theta} = \dfrac{p_\theta}{ml^2}; \tag 8$

usando (5) en (7) encontramos

$ml^2 \ddot \theta = -mgl\sin \theta, \tag 9$

o

$\ddot \theta = -\dfrac{g}{l} \sin \theta, \tag{10}$

fácilmente reconocible como la ecuación de movimiento del péndulo simple; por otro lado, (8) produce

$\dot \theta = \dfrac{ml^2 \dot \theta}{ml^2} = \dot \theta, \tag{11}$

una identidad.

Es fácil ver a partir de (6), nuevamente usando (5), que

$H(p, q) = \dfrac{p_\theta^2}{2ml^2} + mgl(1 - \cos \theta) = \dfrac{m^2l^4 \dot \theta^2}{2ml^2} + mgl(1 - \cos \theta)$ $= \dfrac{ml^2 \dot \theta^2}{2} + mgl(1 - \cos \theta) = T(\dot \theta) + V(\theta), \tag{12}$

la suma de las energías cinética y potencial del péndulo, es decir, la energía neta del sistema. Como tal, deberíamos esperar que sea constante a lo largo de las trayectorias de las ecuaciones de movimiento (7), (8); permanece igual a medida que el sistema evoluciona, de ahí el término "constante de la energía". A veces se conoce al hecho de que $H(p, q)$ es constante a lo largo de las trayectorias del sistema como la conservación de energía.

Podemos ver esto analíticamente diferenciando $H$ con respecto a $t$:

$\dfrac{dH(p, q)}{dt} = \dfrac{\partial H(p_\theta, \theta)}{\partial p_\theta} \dot p_\theta + \dfrac{\partial H(p_\theta, \theta)}{\partial \theta} \dot \theta = \dot \theta \dot p_\theta - \dot p_\theta \dot \theta = 0, \tag{13}$

por virtud de (7) y (8).

Answer 3

"del movimiento" es un modismo de la física, y no estoy seguro de qué agrega a la declaración. Quieres mostrar $$ \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \theta}\dot \theta +\frac{\partial H}{\partial p_{\theta}}\dot p_\theta = 0 $$