Pista: es una dimensión finita $\Bbb R$ espacio vectorial, y los ideales izquierdo y derecho son subespacios.
Argumenta por dimensión que las cadenas de ideales de izquierda o de derecha no pueden ser más largas que cuatro pasos.
Pero la forma en que argumenté en el post, ¿es demasiado vaga o simplemente está mal?
La razón por la que no es válida es la siguiente: para los anillos no conmutativos hay que distinguir entre las condiciones artiniana/noetheriana derecha/izquierda, y la convención dice que lo llamas "artiniano/noetheriano" si satisface la condición en ambos lados a la vez. En tu solución, sólo has prestado atención a los ideales de dos lados, y eso por sí solo no es suficiente para demostrar que el anillo es artiniano/noeteriano de derecha/izquierda. Tienes que fijarte en los conjuntos completos de ideales de derecha e izquierda.
Hay, de hecho, infinitos ideales de izquierda (de hecho, infinitos ideales máximos de izquierda) de la forma $\begin{bmatrix}0&0\\ x&\lambda x\end{bmatrix}$ donde $\lambda$ se extiende sobre $\Bbb R$ (como ya demostró Jeremy Rickard en otra solución).
Aunque la finitud de un conjunto de ideales de izquierda/derecha/dos caras es ciertamente suficiente para garantizar las condiciones de la cadena, es realmente demasiado fuerte. Las condiciones se refieren más a la longitud de las cadenas de submódulos que a su número. Como se ha visto aquí, pueden existir infinitos junto a otros, pero todas las cadenas deben ser muy superficiales.
Por último, pero no por ello menos importante: tienes razón en que hay cinco ideales. El conjunto de matrices estrictamente triangulares inferiores $T$ formar un $1$ -ideal bidimensional, por lo que no hay ideales por debajo de él. Los ideales restantes deben corresponder a ideales de $R/T\cong \Bbb R\times \Bbb R$ . Esos cuatro ideales, junto con el único ideal contenido en $T$ (el ideal cero) comprenden el conjunto completo de $5$ ideales de dos caras.
