He aquí una prueba en el lenguaje de las representaciones de los grupos cuánticos. Se trata de un trabajo de Piotr Podlés y posteriormente de Shouzou Wang.
Dejemos que $\rho=(\rho_{ij})_{i,j=1}^{d_\rho}$ sea una representación irreducible y $N$ un subgrupo de $N$ . Sea $\theta_N:F(G)\rightarrow F(N)$ sea el mapa: $$\delta_g\mapsto \begin{cases}\delta_g&\text{ if }g\in N\\ 0 & \text{ otherwise}\end{cases}.$$
Tenga en cuenta que cuando $\Delta:F(G)\rightarrow F(G)\otimes F(G)$ es la comulgación: $$\delta_g\mapsto \sum_{t\in G}\delta_{gt^{-1}}\otimes\delta_t,$$ y $\Delta_N:F(N)\rightarrow F(N)\otimes F(N)$ la comulgación en $F(N)$ :
$$\delta_g\mapsto \sum_{n\in N}\delta_{gn^{-1}}\otimes \delta_n,$$ el mapa $\pi$ tiene la propiedad de que: $$(\pi\otimes\pi)\circ \Delta=\Delta_N\circ \pi.$$
Que $\rho$ es una representación de $G$ en $V$ implica que $(\rho_{ij})_{i,j=1}^{d_\rho}\in M_{d_\rho}(F(G))$ es un matriz de presentación del núcleo para $F(G)$ .
Que $N$ es un subgrupo de $G$ implica que $(\pi(\rho_{ij}))_{i,j=1}^{d_\rho}$ es una matriz de representación del núcleo para $F(N)$ .
La representación trivial del núcleo de $F(N)$ es el mapa $\kappa_{\tau_N}$ $\lambda\mapsto \lambda\otimes \mathbf{1}_N$ . Sea $n_\rho$ sea la multiplicidad de $\kappa_{\tau_N}$ en $\pi(\kappa_\rho)$ . Podlés/Wang afirman que $n_\rho$ es $d_\rho$ o cero. Supongamos que $1<n_\rho<d_\rho$ .
Dejemos que $F(N\backslash G)$ sea el álgebra de las funciones constantes en los cosenos derechos de $N$ en $G$ y $F(G/N)$ el álgebra de las funciones en los cosets de la derecha.
Si $N$ es normal, entonces estas álgebras coinciden.
Dejemos que $E$ sea la proyección $F(G)\mapsto F(G/N)$ que mapea una función $f$ a $E(f)$ donde $$E(f)(Ng)=\frac{1}{|N|}\sum_{n\in N}f(ng),$$ la media de $f$ en el coset $Ng$ .
Dejemos que $$n_N=\frac{1}{|N|}\sum_{n\in N}\delta^n$$ sea el estado medio en $F(N)$ . Afirmamos que $$E(\rho_{ij})=E_{N\backslash G}(\rho_{ij})=\sum_{k=1}^{d_\rho}h_N(\pi(\rho_{ik}))\,\rho_{kj},$$ y $$E(\rho_{ij})=E_{G/N}(\rho_{ij})=\sum_{k=1}h_N(\pi(\rho_{kj}))\rho_{ik}.$$ Esto se deduce del hecho de que $$E=\underbrace{(h_N\pi\otimes I_{F(G)})\circ \Delta}_{E_{N\backslash G}}=\underbrace{(I_{F(G)}\otimes h_N\pi)\circ \Delta}_{E_{G/N}},$$ como se puede ver mostrando que esto mapea $$\delta_g\mapsto \frac{1}{|N|}\mathbf{1}_{Ng}.$$
Ahora elija una base tal que el $n_\rho$ representaciones triviales de $N$ en $\pi(\rho)$ en la esquina superior izquierda para que:
$$\pi(\rho)=\left(\begin{array}{cccc}\mathbf{1}_N & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \mathbf{1}_N & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \varrho\end{array}\right),$$ donde $\varrho$ es una suma de representaciones no triviales de $N$ .
Ahora, más allá de este punto tenemos elementos de la matriz $\pi(\rho_{ij})$ de representaciones no triviales de $N$ . A partir de la teoría de la representación del núcleo, tenemos que la media de una representación no trivial es cero, y por lo tanto, fuera de la $n_\rho\times n_\rho$ esquina superior, $n_N(\pi(\rho_{ij}))=0$ .
Más allá de este cuadrado debe haber un elemento matricial no nulo $\rho_{ij}$
Recordemos que el mapa $E$ es una proyección de funciones sobre $G$ sobre funciones en el grupo cociente.
Obsérvese que, a partir de la discusión anterior $$E_{N\backslash G}(\rho_{ij})=\begin{cases}\rho_{ij}&1\leq i\leq n_\rho,\,1\leq j\leq d_\rho\\0 & \text{otherwise}\end{cases},$$ y $$E_{G/N}(\rho_{ij})=\begin{cases}\rho_{ij}&1\leq i\leq d_\rho,\,1\leq j\leq n_\rho\\0 & \text{otherwise}\end{cases}$$
Tome un elemento $\rho_{ij}$ tal que $j>n_\rho$ .
Ahora $$0\neq \rho_{ij}=E_{N\backslash G}(\rho_{ij})=E_{G/N}(\rho_{ij})=0.$$
Esto implica que no existe tal $j$ y así $n_\rho=d_\rho$ . Alternativamente $n_\rho=0$ .
El resultado anterior debería ser el siguiente.
