Prueba de $n \int_0^1 f(x+t) g(nt)\, dt \rightarrow f(x)$

Question

Supongamos que $g\in L^1([0,\infty))$ y $\int_0^\infty g(x)\, dx=1$ .

Cómo demostrar que si $f:[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua, entonces $n \int_0^1 f(x+t) g(nt)\, dt \rightarrow f(x)$ como $n\rightarrow \infty$ para $x\in \mathbb{R}$ ?

Diga $nt=u$ en la integral entonces obtenemos $\int_0^n f(x+u/n) g(u) \,du$ . Estimando esta integral desde arriba y dejando $f_n(x)= f(x+u/n) \chi_{[0,n]} $ no da nada ya que no sabemos si $f$ siendo el límite puntual de esta secuencia, es integrable en $\mathbb{R}$ . ¿Cómo puedo utilizar la continuidad de $f$ ? De alguna manera el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue va a jugar un papel pero no lo consigo, ¿podríais ayudarme?

Obrigado.

Answer 1

No puedo evitar ver estas cuestiones en términos de probabilidad.

Dejemos que $T$ sea una variable aleatoria no negativa con densidad $g(t)$ ; entonces $ng(nt)$ es la densidad de $T/n$ y así $$n\int_0^1f(x+t)g(nt)\,dt=\int f(x+T/n)\,1_{[0,1]}(T/n)\,dP.$$

Las variables aleatorias $f(x+T/n)\,1_{[0,1]}(T/n)$ son uniformemente limitados por $M:=\sup_{x\leq y\leq x+1}|f(y)|$ y convergen a la constante $f(x)$ por lo que por convergencia dominada tenemos $$ \int f(x+T/n)\,1_{[0,1]}(T/n)\,dP\to \int f(x)\,dP=f(x).$$

Answer 2

Esto es sólo la respuesta de Byron de nuevo:

Dejemos que $g_n(t) = f(x+t/n)\chi_{[0,n]}g(t)$ . Tenga en cuenta que para $t\in[0,n]$ tenemos $ x+t/n\in[x,x+1]$ . Sea $M$ sea un límite superior para $|f|$ en $[x,x+1]$ . Entonces tenemos $|g_n(t)|\le M |g(t)|$ para todos $t\ge0$ . También $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} g_n(t)= f(x)g(t)$ para todos $t\ge0$ . Así, por el Teorema de Convergencia Dominada: $$ \int_0^n f(x+t/n) g(t)\,dt=\int_0^\infty g_n(t)\,dt\ \ \buildrel{n\rightarrow\infty} \over\longrightarrow\ \ \int_0^\infty f(x)g(t)\,dt=f(x). $$

Answer 3

Se puede demostrar fácilmente la afirmación para combinaciones lineales de funciones indicadoras. Tomemos $g=\frac{1}{b-a}\chi_{[b-a]}$ : $$ n\int_0^1 f(x+t)g(nt)dt=\frac{n}{b-a}\int_{a/n}^{b/n}f(x+t)dt=f(x+c), $$ para un $c\in[a/n,b/n]$ (esto es el teorema del valor medio). En $n\rightarrow\infty$ $c$ converge a $0$ y así $f(x+c)\rightarrow f(x)$ . Ahora aproximado $g$ por dichas funciones para obtener el resultado.