Demuestra la convergencia de una serie dada y encuentra el límite.

Question

Dada la serie $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+2)}$$

¿Cómo puedo saber exactamente cuál es el límite? $\frac34$ como sugiere Wolframalpha? Ya he descubierto que puedo probar que realmente converge realizando la prueba de comparación y viendo que la secuencia subyacente no es una secuencia nula. Pero desgraciadamente no tengo ni idea de cómo demostrar que converge a $\frac34$ .

Saludos,

Dennis

Answer 1

Una pista: Utiliza la prueba de la integral para verificar que la serie es convergente. Tome $f(x)=\frac{1}{x(x+2)}$ . $f(x)$ es positiva y monótona decreciente en $[1,\infty]$ .

Answer 2

Fracciones parciales:

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)}=\frac12\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)\;.$$

Ahora telescopio y tomar el límite como $n\to\infty$ .

Answer 3

$$\frac2{k(k+2)}=\frac1k-\frac1{k+2}\implies2\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+2)}=1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}$$

Answer 4

Sugerencia: reescribir $$\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2k}-\frac{1}{2(k+2)}$$

y utilizar la propiedad telescópica