La función con coeficientes de Fourier se extiende a un disco cerrado

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua con periodo $2\pi$ . Definir $$u(r,\theta)=\sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|}\hat{f}(n)e^{in\theta}$$ para $r\in[0,1)$ , donde $\hat{f}(n)$ es el $n$ coeficiente de Fourier de $f$ .

Demostrar que $u$ se extiende a una función continua en el disco unitario cerrado.

Queremos demostrar que si tenemos una secuencia $r_j\rightarrow 1^-$ y $\theta_j\rightarrow\theta$ entonces $u(r_j,\theta_j)$ converge a $f(\theta)$ .

Puedo demostrar que $\sup_\theta|u(r,\theta)-f(\theta)|\rightarrow 0$ como $r\rightarrow 1^-$ . Pero esto converge sólo desde una dirección a la vez ( $\theta$ es fijo). ¿Cómo podemos mostrar para la convergencia en cualquier dirección como $r_j\rightarrow 1^-$ y $\theta_j\rightarrow\theta$ ?

[Nota: Véase también aquí para una pregunta relacionada con esta función $u$ .]

Answer 1

Una vez que pueda mostrar $$\sup_\theta |u(r,\theta)-f(\theta)|\rightarrow 0,\quad r\to 1^-\tag{1}$$ ya está hecho.

Dado $\epsilon>0$ , dejemos que $\delta>0$ sea tal que $|f(\theta)-f(\phi)|<\epsilon$ siempre que $|\theta-\phi|<\delta$ . Además, elija $r_0<1$ tal que $|f(\theta)-u(r,\theta)|<\epsilon$ siempre que $r>r_0$ ; esto $r_0$ viene dada por (1). Concluya que $|f(\theta)-u(r,\phi)|<2\epsilon$ siempre que $r>r_0$ y $|\theta-\phi|<\delta$ . Esto es lo que se requería.