Cómo simplificar completamente la derivada de $\sqrt{16-x^2}-4\cos^{-1}(x/4)$

Question

Estoy tratando de simplificar completamente la derivada de la siguiente función:

Hasta ahora, he obtenido la respuesta:

Al parecer, esto no está lo suficientemente simplificado.

¿Alguien sabe cómo simplificar más esto, si es que es posible?

Se agradece toda la ayuda.

Answer 1

\begin{align} & \frac{d}{dx} \left(\sqrt{16-x^2}-4\cos^{-1}(\frac{x}{4})\right) \\[10pt] = {} &\frac{d}{dx} \left(\sqrt{16-x^2}\right)-\frac{d}{dx} \left(4\cos^{-1} \left(\frac{x}{4}\right)\right) \\[10pt] = {} & \frac{1}{2\sqrt{16-x^2}}\cdot(-2x)+\frac{4}{\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}} \cdot \left(\frac{-1}{4}\right) \\[10pt] = {} & \frac{-x}{\sqrt{16-x^2}}-\frac{4}{\sqrt{16-x^2}} \\[10pt] = {} & \frac{-(4+x)}{\sqrt{16-x^2}}=\frac{-(4+x)}{\sqrt{(x+4)(x-4)}}=\frac{-1}{\sqrt{(x-4)}}. \end{align}

Creo que esto es correcto, vuelva a comprobarlo.

Answer 2

Parece que has tratado $\cos^{-1}\left(\dfrac x 4\right)$ como si fuera $\left( \cos\left(\dfrac x 4\right) \right)^{-1}$ . Pero de hecho en el uso convencional $\text{“}\cos^{-1}\text{''}$ significa la función arcocoseno --- es decir, la función inversa.

Tenemos $$ \frac d {dx} \arccos x = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}. $$

Usa eso.

Answer 3

Utiliza la sustitución x=4cos(z).

Answer 4

La respuesta totalmente simplificada es (4-x)/(sqrt(16-x^2)).

Simplifica el (4cos^-1(x/4))' y obtendrás -4/(sqrt(16-x^2)).

Resta eso de 1/(sqrt(16-x^2)), y obtienes (4-x)/(sqrt(16-x^2)).