Métodos para ver si un polinomio es irreducible

Question

Dado un polinomio sobre un campo, ¿cuáles son los métodos para ver que es irreducible? Sólo se me ocurren dos. El primero es el criterio de Eisenstein. Otro es que si un polinomio es irreducible mod p entonces es irreducible. ¿Hay algún otro?

Answer 1

Invirtiendo el polinomio. Si tienes un polinomio de grado $\geq 2$ y coeficientes constantes no nulos (de lo contrario sería reducible, por lo que no sería interesante de todos modos), entonces puedes invertir los coeficientes y comprobar la irreducibilidad en ese polinomio recíproco . Por ejemplo, en lugar de comprobar $f(x)=2x^4+2x^3+2x^2+2x+1$ En su lugar, puede comprobar $x^4+2x^3+2x^2+2x+2$ (y ver que es irreducible por Eisenstein). Esto corresponde a $x^4f(1/x)$ .

Otro criterio útil es el proporcionado por Murty de Ram en el documento ya referenciado en la otra respuesta, similar a los criterios de irreductibilidad de Cohn, dice:

El criterio de irreducibilidad de Murty : Dejemos que $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots+a_1x+a_0$ sea un polinomio de grado $m$ en $\mathbb{Z}[x]$ y establecer $$H=\max_{0\leq i\leq m-1} |a_i/a_m|.$$ Si $f(n)$ es primo para algún número entero $n\geq H+2$ entonces $f(x)$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ .

Puede ver que, por ejemplo $f(x)=x^3-11x^2+19x-17$ es irreducible por eso, si se intenta $n=24$ .

El criterio de Osada . Sea $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x\pm p$ sea un polinomio con coeficientes enteros, donde $p$ es un primo. Si $p>1+|a_1|+\dots+|a_{n-1}|$ entonces $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ .

El siguiente también es sencillo de utilizar, aunque me pareció poco aplicable, no obstante es interesante:

El criterio de Brauer . Sea $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$ sean enteros positivos y $n \geq 2$ . Entonces el polinomio $p(x)=x^n-a_1x^{n-1}-a_2x^{n-2}-\dots-a_n$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ .

Criterios avanzados relacionados con los polígonos de Newton. Estos criterios son un poco más avanzados de usar, pero el documento que sigue proporciona un montón de corolarios en términos de potencias primos (como el criterio de Eisenstein, pero en este caso con múltiples primos). Condiciones de irreductibilidad del tipo Schönemann-Eisenstein-Dumas que utilizan un número arbitrario de números primos . Un ejemplo: intente demostrar la irreductibilidad de este $$4x^6+108x^5+108x^4+108x^3+108x^2+108x+27.$$ El artículo anterior proporciona la manera de hacerlo (es el primer ejemplo en la última sección de ejemplos).

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Answer 2

Un polinomio $p$ con coeficientes en un campo $K$ (es decir. $p \in K[x]$ ) es irreducible si y sólo si $K[x]/(p)$ es un campo. Por lo tanto, se supone que todos los elementos de este anillo cociente son invertibles en ese caso. Digamos que $p$ es de grado $n$ entonces los elementos de $K[x]/(p)$ son todos de la forma $q(x) + (p)$ , donde $q$ es un polinomio de grado $n-1$ o menos. Esto significa que invertir $q$ equivale a resolver un sistema lineal de ecuaciones. Por lo tanto, $p$ es irreducible si y sólo si $q$ no puede elegirse de forma que este sistema no sea resoluble.

Así, si $M_q$ es la matriz para $q$ el criterio es que $\det(M_q) \neq 0$ para todos $q$ (porque la inversa es única, y la invertibilidad es equivalente a la existencia de una solución única).

Esto reduce nuestro problema a la solución de una ecuación polinómica en $n$ variables.