Métodos para ver si un polinomio es irreducible

Question

Dado un polinomio sobre un campo, ¿cuáles son los métodos para ver que es irreducible? Sólo se me ocurren dos. El primero es el criterio de Eisenstein. Otro es que si un polinomio es irreducible mod p entonces es irreducible. ¿Hay algún otro?

Answer 1

Para entender mejor las pruebas de irreducibilidad de Eisenstein y otras relacionadas, deberías aprender sobre los polígonos de Newton. Son los teorema maestro detrás de todos estos resultados relacionados. Un buen lugar para empezar son las notas de Filaseta - ver los enlaces de abajo. Nota: es posible que tenga que escribir a Filaseta para obtener acceso a su interesante libro [1] sobre este tema.

[1] http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math788F/latexbook/

[2] http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math788F/NewtonPolygonsTalk.pdf

[3] Manzana de polígonos de Newton http://www.math.sc.edu/~filaseta/newton/newton.html

[4] Abhyankar, Shreeram S.
Divagaciones históricas en geometría algebraica y álgebra afín.
Amer. Math. Monthly 83 (1976), nº 6, 409-448.
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890(197606/07)83:6%3C409:HRIAG ...

Answer 2

Un método para polinomios sobre $\mathbb{Z}$ es utilizar el análisis complejo para decir algo sobre la ubicación de las raíces. A menudo es útil el teorema de Rouche; así se demuestra el criterio de Perron, que dice que un polinomio mónico $x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0$ con coeficientes enteros es irreducible si $|a_{n-1}| > 1 + |a_{n-2}| + ... + |a_0|$ y $a_0 \neq 0$ . Una observación básica es que saber que un polinomio es reducible impone restricciones sobre dónde pueden estar sus raíces; por ejemplo, si un polinomio mónico con coeficiente constante primo $p$ es reducible, uno de sus factores irreducibles tiene término constante $\pm p$ y el resto tiene término constante $\pm 1$ . Se deduce que el polinomio tiene al menos una raíz dentro del círculo unitario y al menos una raíz fuera.

Una cosa importante a tener en cuenta aquí es que existen polinomios irreducibles sobre $\mathbb{Z}$ que son reducibles modulo cada primo. Por ejemplo, $x^4 + 16$ es un polinomio de este tipo. Así que la técnica modular no es suficiente en general.

Answer 3

He aquí un truco elemental que a veces me resulta útil: Deja que $y=x+c$ para algún número entero fijo $c$ y escribir $f(x)=g(y)$ . Entonces $f$ es irreducible si y sólo si $g$ es irreducible. Puede ser capaz de reducir $g$ modulo un primo y/o aplicar Eisenstein para demostrar que $g$ es irreducible.

Answer 4

A continuación se muestra otro método para la prueba de irreducibilidad - extraído de uno de mis antiguos posts de sci.math.

En 1918, Stackel publicó la siguiente observación sencilla:

Teorema $ $ Si $ p(x) $ es un polinomio compuesto con coeficientes enteros

entonces $ p(n) $ es compuesto para todos los $|n| > B $ para algún límite $B$ ,

de hecho $ p(n) $ tiene como máximo $ 2d $ valores primos, donde $ d = {\rm deg}(p)$ .

La prueba sencilla se puede encontrar en línea en Mott & Rose [3] , p. 8. Recomiendo encarecidamente este delicioso y estimulante artículo de 27 páginas que trata de los polinomios productores de primos y temas relacionados.

Contrapositivamente, $ p(x) $ es primo (irreducible) si asume un valor primo para un valor suficientemente grande $ |x| $ . A la inversa, Bouniakowski conjeturó (1857) que los primos $ p(x) $ asumen infinitos valores primos (excepto en los triviales casos en los que los valores de $p$ tienen un divisor común obvio, por ejemplo $ 2 | x(x+1)+2$ ).

Como ejemplo, Polya-Szego popularizó la prueba de irreducibilidad de A. Cohn, que afirma que $ p(x) \in {\mathbb Z}[x]$ es primo si $ p(b) $ produce un primo en el radix $b$ representación (por lo que necesariamente $0 \le p_i < b$ ).

Por ejemplo $f(x) = x^4 + 6 x^2 + 1 \pmod p$ factores para todos los primos $p$ , Sin embargo, $f(x)$ es primo ya que $f(8) = 10601$ octal $= 4481$ es primo.

Nota: La prueba de Cohn falla si, en radix $b$ se permiten dígitos negativos, por ejemplo $f(x) = x^3 - 9 x^2 + x-9 = (x-9)(x^2 + 1)$ pero $f(10) = 101$ es primo.

Para más información, véase mi anterior puesto [1] junto con la página web de Murty papel [2] .

[1] Dubuque, sci.math 2002-11-12, Sobre los polinomios productores de primos
http://groups.google.com/groups?selm=y8zvg4m9yhm.fsf%40nestle.ai.mit.edu

[2] Murty, Ram. Números primos y polinomios irreducibles.
Amer. Math. Monthly, Vol. 109 (2002), no. 5, 452-458.
http://www.mast.queensu.ca/~murty/polya4.dvi

[3] Mott, Joe L.; Rose, Kermit. Polinomios cúbicos productores de primos
Métodos de teoría ideal en álgebra conmutativa, 281-317.
Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 220, Dekker, Nueva York, 2001.
http://web.math.fsu.edu/~aluffi/archive/paper134.ps

Answer 5

Polinomios por las portadas de Prasolov, entre otras:

• El criterio de Eisenstein
• El criterio de Duma
• Irreductibilidad de los polinomios que alcanzan valores pequeños
• El criterio de Hilbert
• Irreductibilidad de los trinomios y fournomios
• Algunos algoritmos de factorización