Evaluar $\lim_{x \rightarrow 0} x^x$

Question

Sé que cuando se evalúa da una pero no se me ocurre cómo probarlo. ¿Alguien puede ayudar? Creo que requiere la regla de L'Hopitals y tomar un logaritmo natural, pero no puedo averiguar la matemática exacta.

Answer 1

Tienes razón, tienes que tomar un logaritmo. En este caso, $$x^x=e^{x\ln x}$$ por lo que el límite se puede escribir como (por continuidad de la función exponencial) - escribiendo $\exp x$ para $e^x$ , $$\exp{\lim_{x\to 0^+}{x\ln x}}=\exp{\lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln x}{1/x}}}=\exp \lim_{x\to 0^+}{\frac{1/x}{-1/x^2}}=\exp\lim_{x\to 0^+}{-x}=e^0=1$$ Así que el límite es $1$ . ¡Increíble!

Answer 2

El límite es $1$ . Para ver por qué, dejemos que $y = x^x$ . entonces $\ln y = x \ln x = \frac{ \ln x }{\frac{1}{x}} $ . Por lo tanto,

$$ \lim_{x \to 0^+ } \frac{ \ln x }{\frac{1}{x}} =_{L'hop} \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x} }{ - \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+ } - x = 0 . $$

Por lo tanto,

$$ \lim_{x \to 0^+ } y = e^0 = 1$$

Answer 3

Si acepta que $0^0=1$ entonces tal vez otro enfoque: ya que el mapa $z=f(x,y)=y^x$ es continua para $y>0$ el límite como $(x,y)\rightarrow (0,0)=0^0=1$

Answer 4

$\displaystyle\lim_{x\to0}x^x~=~\lim_{n\to\infty}\bigg(\frac1n\bigg)^\frac1n~=~\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]n}~.~$ Pero, ¿cuánto es $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n$ ? Acerquémonos $\infty$ en un escala logarítmica y a ver qué pasa. $~\sqrt[10]{10}=10^{^\tfrac1{10}},\quad\sqrt[100]{100}=10^{^\tfrac2{10^2}},~\sqrt[1000]{1000}=10^{^\tfrac3{10^3}}$ y en general, $\sqrt[10^k]{10^k}=10^{^\tfrac k{10^k}}.~$ Pero obviamente $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac k{10^k}=0,~$ por lo que nuestro límite es $10^0=1$ y $\dfrac11=1$ . $\big($ Por supuesto, en lugar de $10$ podríamos haber utilizado cualquier otro número $>1\big)$ . He decidido publicar este enfoque principalmente porque lo encuentro más intuitivo.