Hace $ \mathbb{E}\Big(\min_{1\leq j\leq J} |\epsilon_j|\Big)=\infty $ ¿implican colas pesadas?

Question

Considere $J$ variables aleatorias continuas $$ \epsilon_1,\dots, \epsilon_J $$

Supongamos que $$ \mathbb{E}\Big(\min_{1\leq j\leq J} |\epsilon_j|\Big)=\infty $$

¿Podría ayudarme a interpretar "gráficamente" esta condición? En particular, ¿significa que hay un problema de colas pesadas? Si no es así, ¿hay alguna otra interpretación intuitiva?

Answer 1

Desde $(x_1,...,x_J) \mapsto \min_{1 \le j \le J} x_j$ es cóncavo en $\mathbb{R}^J$ la desigualdad de Jensen da $$\min_{1 \le j \le J} \mathbb{E}[|\epsilon_j|] \ge \mathbb{E}\left[ \min_{1 \le j \le J} |\epsilon_j|\right] = \infty,$$ así que $\mathbb{E}[|\epsilon_j|] = \infty$ para todos $1 \le j \le J$ . Por lo tanto, la condición $\mathbb{E}\left[ \min_{1 \le j \le J} |\epsilon_j|\right] = \infty$ dice que ninguna de las variables aleatorias $\epsilon_1,...,\epsilon_J$ son integrables. Puedes interpretarlo como que todas esas variables aleatorias tienen colas pesadas.

Answer 2

Esta es otra forma de verlo. Voy a suponer que el $\epsilon_j$ son iid y dejemos que $M = \min_{j\leq J} |\epsilon_j|$ . Demostraré por contraposición que el $|\epsilon_j|$ ser de cola ligera significa $M$ tiene una media finita.

Supongamos que el $|\epsilon_j|$ no son de cola pesada, lo que significa que la función generadora de momentos (MGF) $M_{\epsilon}(t) < \infty$ para algunos $t$ en una vecindad de cero.

Que el MGF sea finito cerca de cero significa que para $t$ suficientemente pequeño tenemos $$ \text E[e^{t|\epsilon|}] = \int_0^\infty P(e^{t|\epsilon|} > x)\,\text dx = \int_0^\infty P\left(|\epsilon| > \frac{\log x}t\right)\,\text dx < \infty $$ por lo que debe ser que $P\left(|\epsilon| > \frac{\log x}t\right) \to 0$ como una tasa más rápida que $1/x$ como $x\to\infty$ . Esto significa que $P(|\epsilon| > x)$ decae a un ritmo exponencial como mínimo. Entonces tenemos $$ \int_0^\infty P(M > x)\,\text dx = \int_0^\infty P(|\epsilon|> x)^J\,\text dx $$ y el decaimiento exponencial de $P(|\epsilon| > x)$ garantiza que ésta es finita, por lo que $\text E[M] = \int_0^\infty P(M > x) < \infty$ .