La fuerza gravitacional sobre tu cuerpo, llamada peso, te empuja hacia el suelo. $$W=mg$$ Entonces, ¿cuál es la ecuación del peso a través de la relatividad general?
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seb
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Comienza con la métrica de Schwarzschild $$ds^2 = (1-\frac{r_S}{r})c^2dt^2-(1-\frac{r_S}{r})^{-1}dr^2-r^2d\Omega^2 $$ donde $$r_S=\frac{2GM}{c^2} $$ Una partícula en reposo de radio $r$ y los parámetros angulares cero desde el centro de masa tiene la línea del mundo $$ x^{\mu}=(t, r, 0, 0)$$ Su cuatro velocidad es así $$ u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=((1-\frac{r_S}{r})^{-\frac{1}{2}}, 0, 0, 0)$$ Su cuatro aceleración es $$a^{\mu}= \frac{du^{\mu}}{d\tau}+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}u^{\alpha}u^{\beta} $$ Después de buscar los símbolos de Christoffel, porque me da pereza, me sale $$ a^{\mu} = (0, \frac{c^2r_S}{2r^2}, 0, 0)$$ Por lo tanto, la norma de Lorentz al cuadrado de la cuatro aceleración es $$g_{\mu \nu}a^{\mu}a^{\nu}= \frac{c^4r_S^2}{4r^4(1-\frac{r_S}{r})}=\frac{G^2M^2}{r^4(1-\frac{2GM}{c^2r})}$$ Ahora el aceleración adecuada de un objeto en el tiempo t es la aceleración relativa a un observador en caída libre, que está momentáneamente en reposo con respecto al objeto en el tiempo t. El tipo en caída libre es el que no está acelerando - el objeto mantenido en reposo en el radio r es el que está acelerando. Como hemos demostrado, su aceleración es $$\frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}} $$ Así que si quieres definir una fuerza, sería $$F=ma=\frac{GMm}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}} $$ Como $c\rightarrow \infty$ recuperamos la definición newtoniana, pero nadie se molesta en formularla en estos términos.
Nick
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Desde el punto de vista moral, la fórmula se sigue cumpliendo en la relatividad general. Sin embargo, tanto $W$ y $g$ se convierten en una especie de cantidades obsoletas en la relatividad general, por lo que nunca describiríamos el comportamiento del sistema físico de esta manera.
En la relatividad general, la aceleración gravitacional $g$ debe sustituirse cuidadosamente por una cantidad que codifique la conexión de Christoffel para la métrica. La conexión no es un tensor propio, por lo que los valores numéricos dependen en gran medida de la elección de las coordenadas. En varias coordenadas, se podría escribir una ecuación que se pareciera a $W=mg$ . Al final, sin embargo, estaríamos interesados en el movimiento de un objeto, por lo que nos veríamos obligados a reescribir $W$ como $ma$ en la relatividad general, así como $a$ tendría que calcularse a partir de la línea del mundo del objeto en movimiento, etc.
En el mismo, como ya insinuaban las frases anteriores, $W$ es algo obsoleto. En la relatividad general, lo más fácil es estudiar la caída libre de los objetos: la gravedad es la única fuerza que actúa en este caso. La caída libre se describe mediante la condición de que la línea del mundo sea una geodésica, $\delta \tau_{\rm proper} = 0$ el tiempo propio a lo largo de la línea del mundo es maximizado (sí, maximizado, no es un error, el signo es inusual debido a la firma de Minkowski). En esta forma, la ley es independiente de la masa del objeto, lo que no es sorprendente dado el principio de equivalencia subyacente a la RG (todos los objetos se ven afectados por el campo gravitatorio en la misma medida).
Si el objeto no se moviera en caída libre, habría que describir las demás fuerzas que actúan sobre el objeto utilizando el lenguaje de la mecánica del continuo, esencialmente la teoría de campos. La relatividad general no describe los objetos macroscópicos mediante "varios números" como posiciones y velocidades. Nos exige describir la presión, etc., en cada punto de los objetos y estudiar cómo evoluciona la presión y cómo se ve afectada por la curvatura del espaciotiempo. Por tanto, las fórmulas mecánicas del tipo $W=mg$ sólo sirven para describir masas puntuales en la RG: son inapropiadas para objetos extendidos. Y para masas puntuales, las únicas "fuerzas de larga distancia" que podrían actuar de forma controlable son las fuerzas electromagnéticas. Las fuerzas causadas por el contacto mutuo de los cuerpos requieren que los cuerpos sean macroscópicos, y entonces es necesario el uso del formalismo de la teoría de campos de la RG.
Para resumir, $W=mg$ es un ejemplo del lenguaje obsoleto de la mecánica de Newton y la relatividad general no modifica sólo alguna dependencia funcional precisa en ecuaciones similares, que es lo que hace la relatividad especial. Nos obliga a describir los mismos fenómenos utilizando también conceptos diferentes, mucho más generales.
