Pregunta sobre el isomorfismo del álgebra abstracta básica

Question

He demostrado que los dos grupos $\mathbb{Z_2}\times\mathbb{Z_{12}}$ y $\mathbb{Z_4}\times\mathbb{Z_6}$ son isomorfos, pero el mapa que he construido es bastante desordenado. ¿Existe una forma más directa de ver esto?

Pensé que tal vez podría decir que desde $gcd(3,4)=1$ tenemos $\mathbb{Z_3}\times\mathbb{Z_4}\cong\mathbb{Z_{12}}$ y como $gcd(2,3)=1$ tenemos $\mathbb{Z_2}\times\mathbb{Z_3}\cong\mathbb{Z_6}$ por lo que nuestros grupos originales son isomorfos a $\mathbb{Z_2}\times\mathbb{Z_3}\times\mathbb{Z_4}$ y $\mathbb{Z_4}\times\mathbb{Z_2}\times\mathbb{Z_3}$ respectivamente. Ambos grupos tienen orden 24, y el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados dice que como estos grupos sólo difieren en el orden de sus factores, son isomorfos. Por lo tanto, tenemos $\mathbb{Z_2}\times\mathbb{Z_{12}}\cong\mathbb{Z_2}\times\mathbb{Z_3}\times\mathbb{Z_4}\cong\mathbb{Z_4}\times\mathbb{Z_2}\times\mathbb{Z_3}\cong\mathbb{Z_4}\times\mathbb{Z_6}$ . ¿Es correcto este argumento?

Answer 1

Sí, eso es correcto. Sin embargo, no hay que apelar al teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados: $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3$ son obviamente isomorfas por el mapa $(a,b,c)\mapsto (c,a,b)$ . En general, $G\times H\cong H\times G$ . El verdadero trabajo aquí (y el "desorden" del mapa explícito que dices haber encontrado) se esconde en las dos aplicaciones del teorema del resto chino.