Encontrar un ideal máximo y un ideal primo en $\mathbb Z_8[x]$

Question

$1.$ Encuentra un ideal máximo y un ideal primo en $\mathbb Z_8[x]$

Intento: Encontrar un ideal máximo, no estoy seguro de cómo hacerlo. $\mathbb Z_8[x]$ no es un $PID$ , por lo que es inútil encontrar también un polinomio irreducible.

EDITAR: Estoy tratando de mostrar $2$ debe estar en todos los ideales primos/máximos

¿Cuál debería ser el procedimiento lógico para tratar de encontrar un ideal máximo en cualquier anillo?

$2.$ Dejemos que $R=\{a/b|a,b \in \mathbb Z, 3 \nmid b\}$ . Necesitamos encontrar su campo de cocientes.

Intento: $R$ se puede comprobar que es un dominio integral, por lo que existe un campo $F$ llamado campo de cocientes de $R$ que tiene un subring isomorfo a $D$

$R$ no es un campo como $3/2$ no es invertible en $R$ .

Dejemos que $p,q \in R$ . Entonces dejemos que $p/q$ denotan la clase de equivalencia que contiene $(p,q)$

Entonces defina $p/q + r/s = ps+rq/qs$ y $p/q \cdot r/s =pr/qs$

El conjunto de estos cocientes forman un campo isomorfo al conjunto de racionales cuyos denominadores no son múltiplos de $3$ .

¿Estoy en lo cierto?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Sugerencia para el número 1. Demuestre que $2$ debe estar en todos los ideales primos. Convénzase también del hecho de que $\Bbb{Z}_8[x]/\langle 2\rangle\cong\Bbb{Z}_2[x]$ . ¿Puedes encontrar ideales primos/máximos en este último anillo y devolverlos al anillo original?

Sugerencia para el número 2. ¿Puedes pensar en un campo que contenga $R$ ? ¿Cuál es el campo más pequeño? ¿Puedes demostrar que es el campo de los cocientes de $R$ .

Answer 2

Hay muchas preguntas aquí, así que me centraré en una de ellas. Una forma de encontrar un ideal máximo en $\mathbb{Z}_8[x]$ es utilizar el hecho de que un ideal $I$ es máxima si y sólo si $\mathbb{Z}_8[x]/I$ es un campo.

En primer lugar, hay que reconocer que $\mathbb{Z}_8/\langle 2 \rangle \cong \mathbb{Z}_2$ por lo que se deduce que $\mathbb{Z}_8[x]/\langle 2 \rangle \cong \mathbb{Z}_2[x]$ . ¿Cuáles son los ideales máximos en $\mathbb{Z}_2[x]$ ? El ideal máximo correspondiente en $\mathbb{Z}_8[x]$ ? Pista: Esto último no será lo principal.

Debo añadir que todos los ideales máximos son ideales primos, así que realmente has respondido a dos preguntas si puedes responder a esta.

Editar : Si desea encontrar un ideal que sea primordial, pero no maximal, entonces aplica el hecho de que un ideal $I$ en un anillo $R$ es primo $\iff$ $R/I$ es un dominio integral. Otra pista para acercarse a esto: $R/I$ no puede ser finito ya que todos los dominios integrales finitos son campos.