PMF conjunta de variables aleatorias binarias

Question

Quiero encontrar la pmf conjunta de las 3 variables aleatorias siguientes:

$$P_{X,Y,Z}(x,y,z) = \begin{cases} {\frac{3}{16}} &\quad\text{if }(x,y,z)\in \{001,111\}\\ {\frac{1}{8}} &\quad\text{if }(x,y,z)\in \{000,010,100,110\}\\ {\frac{1}{16}} &\quad\text{if } (x,y,z)\in \{011,101\} \\ \end{cases}$$

Obviamente se como encontrar cada pmf pero lo que me confunde mucho y no he podido encontrar nada en internet , son los límites . No entiendo que $(x,y,z)\in \{ 001 , 111\} $ en realidad significa.

¿Alguien puede explicarlo? Gracias.

Answer 1

Podemos mirar donde $y=0$ y $y=1$ en $(x,y,z)$ .

$y=\color{blue}0: (0\color{blue}01), (0\color{blue}00), (1\color{blue}00), (1\color{blue}01)$ . Las probabilidades correspondientes son $\frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$

$y=\color{Orange}1: (1\color{Orange}11), (0\color{Orange}10), (1\color{Orange}10), (0\color{Orange}10)$ . Las probabilidades correspondientes son $\frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$

La suma de todas las probabilidades debe ser 1. Esta es una propiedad de una función de masa de probabilidad (pmf). Dado que los valores de $y=0$ y $y=1$ son iguales podemos deducir que $P(Y=0)=0.5$ y $P(Y=1)=0.5$ . También se pueden sumar las probabilidades. Así, el pmf es para $Y$ est

$$f_Y(y)=\begin{cases} 0.5, \ y=0 \\ 0.5, \ y=1 \\ 0, \ \textrm{elsewhere} \end{cases}$$