Cómo encontrar esta ecuación del sistema

Question

Pregunta:

Dejemos que $x,y,z\in {\mathbb R}$ y tal $x \neq y \neq z$ . Resuelve esta ecuación del sistema: $$ \left\lbrace\begin{array}{ccccccl} x & + & y & + & z & = & 3xy \\[1mm] x^{2} & + & y^{2} & + & z^{2} & = &3yz \\[1mm] x^{3} & + & y^{3} & + & z^{3} & = & 3xz \end{array}\right. $$

$$ \mbox{My idea: Since}\quad x + y + z = 3xy\quad\Longrightarrow\quad x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2xz = 9x^{2}y^{2} $$ $$ \mbox{then we have}\quad 5xz + 2xy + 2yz = 9x^{2}y^{2} $$

Esto es de China El problema olímpico en Zhejiang.

Se dice que esta ecuación del sistema no tiene solución, pero no puedo demostrarlo, tal vez pueda utilizar la desigualdad para demostrarlo

Answer 1

Wolfram Alpha dice hay 4 soluciones, 2 de las cuales puedes eliminar porque supones que son diferentes.

No es una solución analítica, pero al menos le guiará en la dirección correcta.

Las 2 primeras ecuaciones son cónicas habituales cuya solución puede obtenerse analíticamente relativamente bien . Entonces se trata de utilizar esa parametrización en la última ecuación para encontrar soluciones vinculantes para $x$ .

Answer 2

Utilizo la siguiente versión de Maxima

Maxima 5.25.1 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (a.k.a. GCL) 

Intento resolverlo utilizando una base de Groebner. Hago los cálculos utilizando un CAS ( Máxima ). El código fuente se puede encontrar aquí . $p1$ , $p2$ y $p3$ son los tres polinomios dados. $gb$ es una base de Groebner calculada por el CAS para estos tres polinomios. $gb$ es una lista de polinomios.

(%i3) load(grobner)$
Loading maxima-grobner $Revision: 1.6 $ $Date: 2009-06-02 07:49:49 $
(%i4) p1:-3\*x\*y+z+y+x$
(%i5) p2:-3\*y\*z+z^2+y^2+x^2$
(%i6) p3:-3\*x\*z+z^3+y^3+x^3$
(%i7) gb:poly\_reduced\_grobner(\[p1,p2,p3\],\[x,y,z\]);
(%o7) \[-4767660\*z^10-14511474\*z^9-2093445\*z^8+29411046\*z^7+17677242\*z^6
                    -15031881\*z^5-9650244\*z^4-1068394\*z^3+17405\*z^2+17405\*y\*z,
       -81\*z^11-243\*z^10-27\*z^9+495\*z^8+279\*z^7-255\*z^6-148\*z^5-19\*z^4-z^3,
       -266402844\*z^10-762512859\*z^9+18497646\*z^8+1631905623\*z^7+692505936\*z^6
                      -947985525\*z^5-361760418\*z^4-4404204\*z^3+261075\*z^2
                      -34810\*z-34810\*y-34810\*x,
       -14391189\*z^10-42869331\*z^9-3828627\*z^8+88209945\*z^7+47711907\*z^6
                     -46704285\*z^5-25500816\*z^4-2610199\*z^3-10443\*z^2
                     -6962\*y^2\]

El segundo de los polinomios si la base de Groebner es un polinomio sólo en $z$ . Llamo a este polinomio $gbz$ y tratar de encontrar sus ceros. Maxima encuentra dos soluciones $z=0$ y $z=1$ y un polinomio de grado $6$ que yo llamo $pz$ .

(%i8) gbz:gb\[2\];
(%o8) -81\*z^11-243\*z^10-27\*z^9+495\*z^8+279\*z^7-255\*z^6-148\*z^5-19\*z^4-z^3
(%i9) ss:solve(gbz,z);
(%o9) \[z = 1,z = 0,0 = 81\*z^6+405\*z^5+756\*z^4+612\*z^3+189\*z^2+21\*z+1\]
(%i10) pz:rhs(ss\[3\]);
(%o10) 81\*z^6+405\*z^5+756\*z^4+612\*z^3+189\*z^2+21\*z+1

$pz$ contiene sólo raíces con multiplicidad $1$ porque $pz$ y su primera derivada son relativamente primos.

(%i11) dpz:diff(pz,z);
(%o11) 486\*z^5+2025\*z^4+3024\*z^3+1836\*z^2+378\*z+21
(%i12) gcd(pz,dpz);
(%o12) 1

Contiene dos raíces reales. "nroots" utiliza el método de las secuencias de Sturm.

(%i13) nroots(pz);
(%o13) 2

Para $z=0$ obtenemos la solución $x=0$ y $y=0$ . Para $z=1$ obtenemos $x=1$ y $y=1$ .

(%i14) ev(solve(gb,\[x,y\]),z = 0);
(%o14) \[\[x = 0,y = 0\]\]
(%i15) ev(solve(gb,\[x,y\]),z = 1);
(%o15) \[\[x = 1,y = 1\]\]

Así que estas son soluciones que no satisfacen $x \ne y \ne z \ne x$ . Estas son las únicas soluciones que satisfacen $x=y$ . Esto se demuestra con lo siguiente, donde la base de Groebner que contiene sólo la variable z tiene sólo los ceros $z=0$ y $z=1$ :

(%i16) gbeq:poly\_reduced\_grobner(\[p1,p2,p3,x-y\],\[x,y,z\])
(%o16) \[z^2-z^3,3\*z^2-z-2\*x,3\*z^2-z-2\*y\]

De forma similar se puede demostrar que no hay más soluciones con $y=z$ o $z=x$ .

(%i17) gbeq:poly\_reduced\_grobner(\[p1,p2,p3,y-z\],\[x,y,z\])
(%o17) \[y-z,z^2-z^3,3\*z^2-2\*z-x\]
(%i18) gbeq:poly\_reduced\_grobner(\[p1,p2,p3,z-x\],\[x,y,z\])
(%o18) \[z-x,z^3-z^2,3\*z^2-2\*z-y\]

Así que las soluciones de $pz(z)=0$ satisfacer $x \ne y \ne z \ne x$ .

En definitiva, hemos comprobado que hay dos soluciones que satisfacen los requisitos.

Hasta ahora, todos los cálculos se hacían en aritmética de números enteros y, por tanto, eran precisos, sin errores de redondeo. Para encontrar una aproximación de los ceros del polinomio tratamos de encontrar una solución de aproximación (algoritmo de Jenkins)

%i19) rr:allroots(pz)
(%o19) \[z = 0.059594592729233\*%i-0.077325282882167,
        z = -0.059594592729233\*%i-0.077325282882167,z = -0.34384834895616,
        z = -1.430213435919199,z = 0.52519906053201\*%i-1.535643824680153,
        z = -0.52519906053201\*%i-1.535643824680153\]

La 3ª y la 4ª de las raíces encontradas son reales. Calculamos las correspondientes $x$ y $y$ valores de los dos polinomios de la base de Groebner

(%i20) ratprint:false
(%i21) ev(ss1:solve(\[gb\[1\],gb\[3\]\],\[x,y\]),rr\[3\],numer)
(%o21) \[\[x = 0.33672111094963,y = -0.7012677966684\]\]
(%i22) ev(ss2:solve(\[gb\[1\],gb\[3\]\],\[x,y\]),rr\[4\],numer)
(%o22) \[\[x = 0.68673203477216,y = -0.70126779745501\]\]

Así que finalmente obtenemos las siguientes aproximaciones para las otras soluciones reales:

(%i23) t1:endcons(rr\[3\],ss1\[1\])
(%o23) \[x = 0.33672111094963,y = -0.7012677966684,z = -0.34384834895616\]
(%i24) t2:endcons(rr\[4\],ss2\[1\])
(%o24) \[x = 0.68673203477216,y = -0.70126779745501,z = -1.430213435919199\]

Para comprobar las soluciones las sustituimos en los polinomios originales

(%i25) ev(\[p1,p2,p3\],t1)
(%o25) \[-1.9972772102860858E-8,-5.898479010779667E-9,-2.5471788220321478E-9\]
(%i26) ev(\[p1,p2,p3\],t2)
(%o26) \[-1.4202621745340593E-8,5.3206585803877715E-9,-1.4270534975935334E-8\]

Answer 3

El 3-D $(x,y,z)$ puede reducirse a un problema bidimensional sustituyendo $\;z = 3xy-x-y\;$ en $\;x^2 + y^2 + z^2 = 3yz\;$ y $\;x^3 + y^3 + z^3 = 3xz\,$ , dando las curvas $\;\color{red}{f(x,y) = 0}\;$ y $\;\color{green}{g(x,y) = 0}\;$ donde $f$ y $g$ se definen por: $$ f(x,y) = 2 x^2 + 5 y^2 + 9 x^2 y^2 - 6 x^2 y - 15 x y^2 + 5 x y\\ g(x, y) = 27 x^3 y^3 - 27 x^3 y^2 - 27 x^2 y^3 + 9 x^3 y + 18 x^2 y^2 + 9 x y^3 - 12 x^2 y - 3 x y^2 + 3 x^2 + 3 x y$$ Una imagen dice más que mil palabras:

Tenga en cuenta que $x$ es un factor de $g(x,y)$ De ahí que el $\color{green}{green}$ eje y. También hay que tener en cuenta que hay soluciones triviales $(x,y,z) = \{(0,0,0),(1,1,1)\}\;$ y que la solución trivial $\,(x,y,z) = (0,0,0)\,$ es invisible.
Los dos puntos no triviales donde se cruzan las dos curvas se encuentran numéricamente con MAPLE :

fsolve({f(x,y)=0,g(x,y)=0},{x,y},{x=0.5..1,y=-1..-0.5});
fsolve({f(x,y)=0,g(x,y)=0},{x,y},{x=0..0.5,y=-1..-0.5});
Nuestra solución está (pero no del todo) de acuerdo con la respuesta encontrada por [milagro173](http://math.stackexchange.com/users/11206/miracle173) : $$ \\left\\{x = 0.6867320382, y = -0.7012678009, z = -1.430213436 \\right\\}\\\\ \\left\\{x = 0.3367211174, y = -0.7012678009, z = -0.343848349 \\right\\} $$

Pero ah, lo que el OP probablemente quiere es un solución analítica . Así que aquí viene / MAPLE dice: $$ \left\{ x={\frac {1}{72}}\,{\frac {9\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{4/3}-48\,\sqrt {5}-48\,\sqrt [3]{12+4\,\sqrt {5}}+3\,\sqrt {9\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{8/3}-96\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{4/3}\sqrt {5}-96\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{5/3}- 3840+512\,\sqrt {5}\sqrt [3]{12+4\,\sqrt {5}}+1536\, \left( 12+4\, \sqrt {5} \right) ^{2/3}-320\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{4/3}- 3072\,\sqrt {5}+768\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{2/3}\sqrt {5}}} { \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{2/3}}},y=-1/6\,\sqrt [3]{12+4\, \sqrt {5}}-2/3\,{\frac {1}{\sqrt [3]{12+4\,\sqrt {5}}}} \right\} $$ $$ \left\{ x={\frac {1}{72}}\,{\frac {9\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{4/3}-48\,\sqrt {5}-48\,\sqrt [3]{12+4\,\sqrt {5}}-3\,\sqrt {9\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{8/3}-96\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{4/3}\sqrt {5}-96\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{5/3}- 3840+512\,\sqrt {5}\sqrt [3]{12+4\,\sqrt {5}}+1536\, \left( 12+4\, \sqrt {5} \right) ^{2/3}-320\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{4/3}- 3072\,\sqrt {5}+768\, \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{2/3}\sqrt {5}}} { \left( 12+4\,\sqrt {5} \right) ^{2/3}}},y=-1/6\,\sqrt [3]{12+4\, \sqrt {5}}-2/3\,{\frac {1}{\sqrt [3]{12+4\,\sqrt {5}}}} \right\} $$ Y $z$ se puede calcular a partir de $\;z = 3xy-x-y\;$ . Sea lo que sea Lo que vemos es que el $y$ -las coordenadas de las dos soluciones son, en efecto, exactamente iguales y me gustaría escuchar una simple argumento para ello.