Anillo isomorfo $\mathbb{K}[x]/\mathbb{K}\cong \mathbb{K}[x]$ .

Question

Quiero demostrar que el anillo $\mathbb{K}[x]/\mathbb{K}\cong \mathbb{K}[x]$ en el sentido de grupo aditivo, donde $\mathbb{K}$ es un campo.

Intento probarlo con el homomorfismo $\alpha:\mathbb{K}[x]\rightarrow \mathbb{K}[x]$ definido por $\alpha(f(x))=f'(x)$ y luego concluir con el primer teorema del homomorfismo.

¿Es cierto?

Answer 1

Sí, su enfoque es correcto si $\mathbb{K}$ es un campo de característica cero. El núcleo de $\alpha$ el mapa definido por la diferenciación, es el subgrupo de (el grupo abeliano) $\mathbb{K}[x]$ que consiste en los polinomios constantes. Podrías mejorar tu prueba mencionando esto explícitamente.

Sin embargo, si $\mathbb{K}$ fuera un campo con primos $p$ característica, habría elementos adicionales del núcleo de $\alpha$ . La afirmación sería verdadera, pero tu prueba no funcionaría. (Piensa en el espacio vectorial de dimensión infinita, como se menciona en los comentarios).