Una secuencia de funciones continuas en $[0,1]$ que convergen pointwise a.e. pero no converge uniformemente en cualquier intervalo

Question

¿Cómo construir una secuencia de funciones definida y continua en $[0,1]$ y converge a cero a.e. pero en cualquier intervalo no converge uniformemente?

Answer 1

Vea el ejemplo 7.4, página 77, en Contraejemplos en el Análisis, Gelbaum y Olmsted (el buen diagrama en la página 79 da la idea esencial de la construcción).

De ahí, una sucesión de funciones continuas es construido de manera que converge a la función $f(x)=\cases{1/q,&$x=p/q$ in lowest terms, $p$ and $p$ integers with $q>0$\cr 0,&$x$ irrational}$.

Que la convergencia no es uniforme en el intervalo que se deduce del hecho de que $f$ es discontinua en cada racional $x$, y el hecho de que un límite uniforme de funciones continuas es continua.