Verificación de pruebas: conjuntos abiertos y cerrados

Question

Tarea: Que $F$ y $G$ sean subconjuntos de $\mathbb{R}^2$

$F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\in[0,10]$ y $y\geq \frac{1}{1+x^2}\}$ y $G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|y>\frac{1}{1+x^2}\}$ .

(a) Demuestre que $F$ es un conjunto cerrado en $\mathbb{R}^2$

(b) demostrar que $G$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$

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Para (a) utilizo el hecho de que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite. Esto es lo que he probado para (a):

Dejemos que $\{(x_n,y_n)\}$ sea una secuencia en $F$ .

entonces tenemos $0 \leq x_n \leq10$ y $y_n \geq\frac{1}{1+x^2_n}$ .

Supongamos que $\{(x_n,y_n)\}$ converge a $(x,y)\in\mathbb{R}$ entonces $x_n\rightarrow x$ y $y_n\rightarrow y$ tanto en $\mathbb{R}$ .

Por lo tanto, tenemos las desigualdades: $$0\leq\lim_{n\to\infty}x_n\leq10$$ y $$\lim_{y\to\infty} y_n\geq\frac{1}{1+(\lim_{n\to\infty} x_n)^2}$$

$\implies$ $0 \leq x \leq10$ y $y \geq\frac{1}{1+x^2}$ .

$\implies$ $(x,y)\in F$

Por lo tanto, $F$ contiene todos sus puntos límite, y concluimos que F es cerrado en $\mathbb{R^2}$

Esto es lo que he intentado para (b):

Dada la definición de G tenemos $G^c=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}|y\leq \frac{1}{1+x^2}\}$ . De (a) sabemos que $G^c$ en $\mathbb{R^2}$ está cerrado y por lo tanto $(G^c)^c=G$ está abierto en $\mathbb{R^2}$

Answer 1

Sólo hay un pequeño error: cuando dice que "De (a) sabemos que $G^c$ en $\mathbb{R}^2$ está cerrado", eso no es correcto. El conjunto $G^c$ est no el mismo conjunto mencionado en (a). Por supuesto, se puede decir que basta con utilizar el mismo argumento.

Yo daría por resuelto (a) observando que $F=f^{-1}\bigl([0,+\infty)\bigr)$ , donde $$f(x,y)=y-\frac1{1+x^2}$$ y habría resuelto (b) con un enfoque similar.