Hoja de ruta para estudiar el teorema del índice de Atiyah-Singer

Question

Soy estudiante de física y quiero hacer un doctorado en matemáticas (geometría o topología). Lo estudio casi por completo por mi cuenta, ya que el programa en mi país ofrece muy poca flexibilidad para tomar cursos no departamentales, pensé que podría tomarlos es un par de semestres. De todos modos, estaba pensando en hacer una especie de mini-proyecto que pueda estudiar por mi cuenta o tal vez preguntar a un profesor. Había oído hablar de este teorema mientras estudiaba solitones topológicos en física.

¿Cuáles son los requisitos para estudiar el teorema de Atiyah-Singer? He mirado en Internet, pero no he podido averiguar exactamente en qué campo se encuentra, ni cuáles son los requisitos previos. La Wikipedia dice que es un teorema en geometría diferencial, pero obviamente lo que sé de geometría diferencial es insuficiente. Conozco los colectores, las formas diferenciales, las derivadas de Lie, los grupos de Lie y algunas cosas de vectores asesinos. Un vistazo al material en línea también habla de algunos operadores en GD que nunca he encontrado. ¿Hay algún requisito previo de topología algebraica?

Por favor, ¿podría recomendarme algunas referencias que puedan llevarme hasta allí?

Gracias de antemano.

Answer 1

El teorema del índice de Atiyah-Singer implica una mezcla de álgebra, geometría/topología y análisis. Aquí están las principales cosas que querrás entender para poder saber lo que el teorema del índice está diciendo realmente.

1. Álgebra: El concepto más importante aquí son las álgebras de Clifford. Por ejemplo, los operadores de Dirac surgen de la combinación de la diferenciación covariante y la multiplicación de Clifford. También querrás aprender sobre los grupos de espín asociados.

2. Geometría/Topología: La idea más fundamental aquí es entender los haces vectoriales. El teorema del índice de Atiyah-Singer trata de operadores diferenciales elípticos entre secciones de haces vectoriales, así que no llegarás a ninguna parte sin un conocimiento firme de los haces. A continuación, querrás entender los fundamentos de la geometría de espín y los operadores de Dirac, especialmente si tus intereses están más basados en la física. Una buena forma del teorema del índice es la fórmula cohomológica para el índice en términos de clases características. Te aconsejo que te familiarices con la cohomología y obtengas un conocimiento básico de las clases características (la teoría de Chern-Weil está bien si ya tienes conocimientos de geometría). Si quieres entender el teorema del índice original o cómo se deriva la fórmula cohomológica para el índice, tendrás que aprender algo de teoría K topológica.

3. Análisis: Aquí el gran tema son los operadores diferenciales en el contexto de los colectores. Por lo tanto, querrás saber qué es un operador diferencial entre haces vectoriales. Necesitarás saber cuál es el símbolo de dicho operador diferencial, y también qué significa que dicho operador diferencial sea elíptico.

Como referencia, el texto clásico es Geometría del giro por Lawson y Michelsohn. Una introducción más sencilla pero menos detallada puede encontrarse en las secciones correspondientes de Geometría, Topología y Física de Nakahara. Hay una buena cantidad de otros libros pero estos son los dos que conozco mejor. Hay algunas buenas notas sobre la geometría del giro aquí . Estas notas de Nicolaescu también puede ser de su interés.

Answer 2

Hay dos enfoques principales del teorema del índice: $K$ -teoría y núcleos de calor. Este último enfoque trata el índice de los operadores de Dirac, que en realidad es más general de lo que parece, ya que para situaciones comunes todos los operadores (en términos de teoría de índices) son operadores de Dirac retorcidos.

Basado en tu formación, yo recomendaría el enfoque del núcleo de calor, ya que es más geométrico, físico, y tendrías que aprender una cantidad decente de topología algebraica para el $K$ -enfoque teórico.

Hay una topología algebraica que entra en ambos enfoques y es la teoría de las clases características. En el enfoque del núcleo de calor, se adopta el punto de vista de Chern-Weil, que es bastante fácil de entender siempre que se esté familiarizado con la cohomología de Rham.

Los libros más útiles son los de Berline, Getzler y Vergne Núcleos de calor y operadores de Dirac y la de John Roe Operadores elípticos, topología y métodos asintóticos .

Para el $K$ -enfoque teórico (que creo que es útil para, al menos, comprender un poco) Me gustan los documentos originales, así como los trabajos expositivos de Nigel Higson, por ejemplo. Conferencias sobre la teoría K de operadores y el índice de Atiyah-Singer .

Answer 3

Hay un nuevo libro maravilloso, grande y profundo que trata precisamente de todo lo que necesitas (asumiendo conocimientos de geometría diferencial "básica"):

• Bleecker; Booß-Bavnek - Teoría de índices con aplicaciones a las matemáticas y la física , International Press 2013, (¡792 páginas!).

Se trata de los mismos autores del siguiente clásico antiguo, pero el nuevo libro NO es una nueva edición sino un título completamente NUEVO (también con tipografía TeX moderna, figuras y temas y detalles adicionales):

• Bleecker; Booß-Bavnek - Topología y análisis: La fórmula del índice de Atiyah-Singer y la física teórica de las galgas , Springer Verlag 1985.

También puede encontrar en esta otra respuesta un resumen muy breve de la prueba de Atiyah-Singer y de por qué son necesarios los operadores pseudodiferenciales. Allí encontrará enlaces a conferencias y otros títulos relacionados con el teorema.