Demostrar que $(1, i);(1,-i)$ son vectores característicos de $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$

Question

Por favor, ayúdenme

Demostrar que $(1, i);(1,-i)$ son vectores característicos de $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$

He encontrado la característica polinómica: $\lambda^2-2a\lambda+a^2+b^2$ y las raíces son:

$\lambda_{1} = \frac{a+ib}{\lambda} \\ \lambda_{2} = \frac{a-ib}{\lambda}$

Pero, no sé cómo resolver el sistema y encontrar vectores característicos.

Muchas gracias.

Answer 1

Para comprobar si un dado vector no nulo $\mathbf{v}$ es un vector característico (también conocido como vector propio) de un dado matriz $A$ , lo haces no necesita encontrar los valores propios, o el polinomio característico de la matriz. Todo lo que hay que hacer es calcular $A\mathbf{v}$ y ver si lo que se obtiene es un múltiplo escalar de $\mathbf{v}$ o no.

Así que hay que calcular $$\left(\begin{array}{cc}a&b\\-b&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\i\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}a+bi\\-b+ai\end{array}\right).$$ Ahora, ¿es $(a+bi,-b+ai)$ un múltiplo escalar de $(1,i)$ ? Sí: compruebe que si $\lambda=a+bi$ entonces $\lambda(1,i) = (a+bi,-b+ai)$ . Desde $A(1,i)^t$ es un múltiplo escalar de $(1,i)$ entonces $(1,i)$ es un vector característico de $A$ .

Del mismo modo, con $(1,-i)$ .

(Me recuerda a cómo la gran mayoría de mis estudiantes de Cálculo, cuando se enfrentan a un problema como "Verificar que $f(x)=2\sin x-3\cos x$ es una solución de la ecuación diferencial $y''+y=0$ " procederá a tratar de encontrar la solución general de la ecuación y ver si el $f(x)$ es de esa forma general, en lugar de simplemente conectando $f$ y comprobando la igualdad... incluso después de decirles que se limiten a enchufar... entonces de nuevo, si se les pide que verifiquen que $17$ es una solución a $x^2 -27x + 170=0$ (también procederán a resolver la cuadrática en lugar de limitarse a enchufar)

Answer 2

Así que hay que comprobar si $$\begin{pmatrix}a&b\\\!\!\!-b&a\end{pmatrix}\binom{1}{i}=\lambda\binom{1}{i}\,\,,\,\lambda=\lambda_1\,\,or\,\,\lambda_2$$ y lo mismo para el otro vector dado. Bien, ahora verifica que efectivamente obtienes la ecuación matricial anterior correctamente cuando utilizas los valores que obtuviste para $\,\lambda\,$ ...y averiguar cuál corresponde a cada vector.