¿Qué ocurre si la función de Euler-Lagrange es siempre cero?

Question

Como se tituló, estaba considerando el problema de mimetización donde $y(x)$ tiene dos puntos finales fijos. Es decir, minimizar $$\int_a^b L(x,y(x),y'(x)) \, dx$$

donde $$\ y(a)=m, y(b)=n $$ para todos $y(x)$ .

si la ecuación de Euler-Lagrange es siempre cero para todas las funciones $y(x)$ Creo que la integral original $$\int_a^b L(x,y(x),y'(x)) \, dx$$ es constante para todo $y(x)$ .

Lo que significa que si $$\frac {d}{dx} \frac {\partial L}{\partial y'} = \frac {\partial L}{\partial y}$$ para todos $y(x)$ entonces $$\int_a^b L(x,y(x),y'(x)) \, dx = C$$ para alguna constante $C$ .

Pero no sé cómo probarlo. Empiezo usando la integración por partes, escribiendo $$\int_a^b L(x,y(x),y'(x)) \, dx$$ como $$\left.\ x*L(x,y(x),y'(x))\right|_a^b - \int_a^b x*\frac {d}{dx}L(x,y(x),y'(x)) \, dx$$ Pero no sé cómo continuar a partir de aquí, o tal vez no debería usar IBP aquí.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

La referencia más sencilla al respecto es la discusión en la sección 2 de la obra de Landau y Lifschitz Mecánica clásica El primer volumen de su colección de física teórica. Utiliza la misma configuración que usted: una dimensión espacial y otra temporal. Demuestran que un Lagrangiano que difiere de otro Lagrangiano por una derivada temporal total, es decir:

$L'(q,\dot{q},t) = L(q,\dot{q},t) + (d/dt)f(q,t)$

Dar acciones

$S' := \int_T L' dt = \int_T L dt + f|\partial T = S + f|\partial T$

Donde $S$ es la acción de $L$ , $S:= \int_T L$ y donde por $f|\partial T$ Me refiero a la evaluación de f en la frontera, $\partial T$ del intervalo temporal $T$ . Como este último término es constante vemos que las condiciones variacionales, $\delta S'=0$ y $\delta S=0$ dan las mismas ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange.

Esto tiene una generalización a dimensiones espaciales más altas donde el término extra se reconoce entonces como una divergencia. Esto se relaciona con el problema variacional inverso planteado por primera vez por Helmholtz hace más de cien años, cuando se preguntaba qué sistemas de ecuaciones diferenciales provienen de principios variacionales. La expresión matemática de esto es el bicomplejo variacional; o más ingenuamente:

Campos vectoriales $\rightarrow$ Lagrangianos $\rightarrow$ Ecuaciones diferenciales $\rightarrow$ Operadores diferenciales

Aquí, la primera flecha está tomando divergencias, $Div$ y el segundo, el operador de Euler-Lagrange, $EL$ mientras que el tercero es el operador de Helmholtz, $H$ . También es lo que se llama una secuencia exacta o compleja, y por tanto la composición de dos flechas desaparece, es decir $EL•Div=0$ amd $H•EL=0$ . La expresión adecuada de este meams no sólo tenemos un complejo, sino un bicomplejo.

En cierto sentido, mientras que el cálculo ordinario se generaliza a la geometría diferencial de colectores , también conocidos como haces tangentes, y los operadores del análisis vectorial se generalizan y ensamblan en el complejo de Rham; el cálculo variacional se generaliza a la geometría diferencial de paquetes Los haces de chorro, y los operadores variacionales, se generalizan y se ensamblan no en un complejo, sino en un bicomplejo, reflejando el hecho de que un haz, en su descripción más general, es un morfismo sobreyectivo entre dos variedades - y que en cierto sentido, podemos llamar el bicomplejo de Rham de un haz.

Answer 2

1. De forma más general, se puede demostrar que

   • si se satisfacen siempre las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL), y
   • si el $x$ - y $y$ -Los espacios son espacios contraíbles ,

   entonces la densidad lagrangiana es una divergencia total, es decir, el funcional de acción es un término de frontera, cf. por ejemplo las Refs. 1-3.

2. Si además la frontera está fijada por condiciones de contorno, entonces el funcional de acción es una constante, como ya sospechaba OP.

3. Ver también este post relacionado de Phys.SE.

Referencias:

1. P.J. Olver, Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales, 1993.

2. I. Anderson, _Introducción a bicomplejo variacional ,_ Contemp. Math. 132 (1992) 51.

3. G. Barnich, F. Brandt y M. Henneaux, Cohomología local de BRST en teorías gauge, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .