Nombre del teorema de que las desviaciones aleatorias en $n$ espacio dimensional tienden a vector normal?

Question

Recuerdo un teorema más o menos como el siguiente, pero ya no lo encuentro:

Si tenemos un punto $x$ en un $N$ espacio dimensional en alguna línea $l$ y tomamos un punto al azar $y$ es decir $1$ unidad de distancia de $x$ extraído de una distribución uniforme en la unidad $N$ -esfera alrededor $x$ . Entonces, como $N$ va al infinito, $y-x$ va al vector normal de $l$ en $x$ casi seguro (o en probabilidad), no importa lo que $l$ es.

Esencialmente, dice que "cuanto más altas son las dimensiones de un espacio vectorial, más formas hay de alejarse de una curva, en comparación con el movimiento a lo largo de la curva"

¿Alguien conoce el nombre, o una referencia, de este teorema?

Answer 1

Esto es el resultado de la concentración de la medida en la esfera.

El teorema de Levy lo dice: Supongamos que $f:S^{n-1}\to\mathbb{R}$ tiene $$\lVert f\rVert_{Lip}=\sup\left\{\frac{|f(x)-f(y)|}{d(x,y)};\;x,y\in S^{n-1}\right\}\leq L,$$ entonces $$\mathbb{P}\left(|f-\mathbb{E}f|\geq t\right)\leq 4\exp\left(-cn\frac{t^2}{L^2}\right).$$ El caso especial que necesitas es simplemente $f(y)=y\cdot t$ , donde $t$ es la tangente a $l$ (norma Lipschitz 1).

Para demostrar esto no se necesita toda la potencia del teorema anterior, basta con utilizar la observación de Maxwell: Sea $X=(X_1,\ldots,X_n)$ sea un vector uniforme en $S^{n-1}$ , entonces para cualquier $\theta\in S^{n-1}$ la variable aleatoria $X\cdot\theta$ se acerca en su distribución a $G/\sqrt{n}$ , donde $G$ es una gaussiana estándar. Para demostrarlo, observe que la distribución de $X\cdot\theta$ es proporcional a $(1-t^2)^{(n-3)/2}$ donde $-1\leq t\leq 1$ y por aproximación de Taylor, cuando $n$ es grande, está cerca de $e^{-t^2n/2}$ . (Esto es en realidad parte de la prueba del teorema que escribí aquí).

Para obtener la función de densidad se puede utilizar lo siguiente: Supongamos que $X\cdot \theta=X_1$ (por invariancia de la rotación es todo lo mismo), y observa que si fijas que la primera coordenada es $t$ entonces las otras coordenadas se distribuyen uniformemente en una esfera de radio $\sqrt{1-t^2}$ . De ahí que se pueda hacer un cambio de variables $[-1,1]\times S^{n-2}\to S^{n-1}$ por $$(t,y)\mapsto (t,\sqrt{1-t^2}y).$$ Dado que la superficie de la esfera de dimensión inferior cambia con la escala por $(1-t^2)^{(n-2)/2}$ y el gradiente del mapa anterior añade un factor de $(1-t^2)^{-1/2}$ se obtiene la densidad correcta.

En los últimos años tenemos muchos libros nuevos y buenos sobre el análisis funcional geométrico. Por ejemplo:

1. Análisis geométrico asintótico P1 (Artstein-Avidan, Giannopoulos, Milman).
2. Probabilidad de alta dimensión (Vershynin).
3. Alice and Bob Meet Banach (Aubrun, Szarek).

Hay muchos otros libros, estos son nuevos y muy accesibles.