Límite de una serie determinada

Question

Considere la serie $a_n=1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+...+\frac{2^n}{3^n}$ . Necesito encontrar un límite superior (un valor que sea mayor que la serie para cada número natural n). He encontrado que $a_n<n+1$ . ¿Es suficiente o hay un valor exacto que sea mayor que la serie?

Answer 1

Afirmo que $a_n \leq 3$ . Aviso $a_{n + 1} = 1 + \frac{2}{3} a_n$ . Así que podemos demostrar inductivamente que si $a_n \leq 3$ entonces \begin{align*} a_{n + 1} & = 1 + \frac{2}{3} a_n \\ & \leq 1 + \frac{2}{3} (3) \\ & = 3 . \end{align*} Y voilá, tienes un límite superior. Pero podemos demostrar que es la cota superior óptima observando que la secuencia es creciente y acotada, y por tanto tiene un límite $L$ . También puede ver $$ L = 1 + \frac{2}{3} L \Rightarrow L = 3 .$$ Así que $3$ es el mínimo límite superior de la secuencia.

Answer 2

Para $n\in \Bbb N,$

$$a_n=\sum_{i=0}^n(\frac{2}{3})^i=\frac {1-(\frac {2}{3})^{n+1}}{1-\frac {2}{3}} $$

$$< \frac {1}{\frac {1}{3}} $$

$$\implies a_n <3.$$