Segunda parte de la pregunta de divisibilidad de la suma factorial

Question

Qué primos $p$ dividir la suma de los factoriales $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \cdots + (p-1)!$ ? Esto está relacionado con mi pregunta anterior .

Answer 1

Esto es lo que he pensado, debería ser algún comentario, pero esto excede el límite de caracteres para comentar.

Si se toma el Teorema de Wilson que

$(p-1)!\equiv -1 \mod{p}$ entonces

$(p-2)!\equiv 1 \mod{p}$ .

Si tomamos la inversa de $a$ en $F_p$ como $\dfrac{1}{a}$ sabemos que $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab}$ en $F_p$ Puede tomarse como una adición habitual.

Entonces

$(p-3)! \equiv -\dfrac{1}{2}\mod{p}$

$(p-4)! \equiv -\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)\mod{p}$

$\cdots$

$1! \equiv (-1)^{p-3}\dfrac{1}{(p-2)!} \mod{p}$

Así,

$1!+2!+\cdots(p-3)! \equiv -\sum_{k=0}^{p-2}(-1)^k\dfrac{1}{k!}\mod{p}$

Y afirmamos sin pruebas.

Lema:

Considere la fracción $\dfrac{p}{q}$ con $q = m!$ , entonces el número más cercano a $\exp(-1)$ con forma $\dfrac{p}{q}$ debe satisfacer

$$\dfrac{p}{q} = \sum_{j=0}^m (-1)^j\dfrac{1}{j!}$$

Entonces

$-\sum_{k=0}^{p-2}(-1)^k\dfrac{1}{k!} \equiv - \mathrm{floor}\left[\dfrac{(p-2)!}{\exp(1)}\right]\mod{p}$

Sin embargo, esto no se puede comprobar en el caso de grandes $p$ ya que la constante $\exp(1)$ no es lo suficientemente preciso. Simplemente he comprobado los primos más pequeños.

Sin embargo, me pareció que debería haber otras soluciones además de la 3 y la 11, de lo contrario, esto puede ser una propiedad muy interesante para la constante.