Grupo abstracto que actúa sobre una variedad suave

Question

$\textbf{Question: }$ Dejemos que $\Gamma$ sea un grupo abstracto que actúa como un difeomorfismo sobre un $C^\infty$ colector $M$ y asumir que el grupo de isotropía $\Gamma_p$ de $p$ es finito para cada $p\in M$ . Si las órbitas son cerradas, subconjuntos discretos de $M$ entonces demuestre que $\Gamma$ es necesariamente contable y la acción es discontinua.

Probar que la acción es discontinua no era tan difícil, pero no podía probar que $\Gamma$ es contable. Por favor, ayuda.

Answer 1

Recuerde que su colector $M$ es contable en segundo lugar. ¿Puedes ver por qué la órbita discreta $\Gamma\cdot p$ debe ser contable? Combina eso con $\Gamma_p$ es finito.