En ZFC, hay tres axiomas particulares que son menos obvios que los otros: regularidad, reemplazo y elección. (El reemplazo es un esquema de axiomas, pero podemos ignorar esa diferencia para este propósito).
De ellos, la regularidad (el fundamento de $\in$ ) es el más fácil de tratar. Aunque no hay razón para pensar que nuestra concepción ingenua de los conjuntos elimina la posibilidad de que exista un conjunto que sea miembro de sí mismo, también resulta que esencialmente nunca construimos tales conjuntos en el curso de las matemáticas ordinarias. Por lo tanto, el axioma de regularidad hace poco daño (al eliminar cosas que nos importan). Sí que hace algún bien, ya que los modelos bien fundados de la teoría de conjuntos son mucho más cómodos de estudiar. La mayoría de los matemáticos nunca piensan en ello.
El axioma de reemplazo es impar porque es difícil de motivar directamente a partir de la noción de jerarquía acumulativa; el reemplazo trata esencialmente de la longitud de los ordinales más que de qué conjuntos existen en cada nivel de la jerarquía acumulativa. Sin embargo, hay muy pocos argumentos matemáticos fuera de la teoría de conjuntos que utilicen realmente este axioma. Los principales ejemplos son el teorema de determinación de Borel y algunos teoremas de la teoría de categorías . Por ello, la mayoría de los matemáticos rara vez se fijan en ella, no se menciona en muchos libros de licenciatura fuera de la teoría de conjuntos y, salvo los teóricos de conjuntos, espero que pocos sean capaces de enunciarla sin pensar.
El axioma de elección es impar porque es un principio de existencia de conjuntos, pero como dice t.b. en un comentario no está implicado por el otro esquema de existencia de conjuntos en ZFC, el esquema de separación. Sin embargo, a diferencia de la sustitución, el axioma de elección puede motivarse a partir de la construcción ingenua de la jerarquía acumulativa. Históricamente, el axioma de elección era un punto de inflamación para ciertas discusiones sobre la constructividad en matemáticas, y por esta razón, muchos autores en el pasado marcaban los resultados que utilizaban el axioma de elección para que quedara claro cuándo se utilizaba. Esta costumbre ha disminuido con el tiempo, ya que los argumentos de principios del siglo XX se han desvanecido un poco en la historia; un efecto secundario de la costumbre es que reforzó la idea persistente de que había algo único en el axioma de elección en comparación con el resto de ZFC.
Estos tres axiomas (regularidad, sustitución y elección) se separan, en varios momentos, del resto de ZFC, dejando atrás teorías de conjuntos más débiles. La razón principal por la que la gente piensa en el axioma de elección como especial, en lugar de la regularidad o el reemplazo, es que el axioma de elección ha sido el más discutido en las divulgaciones y los libros de texto de grado. Pero desde el punto de vista de la ZFC no es en absoluto el único axioma que requiere un esfuerzo de motivación.
