El décimo problema de Hilbert pide el algoritmo general (número finito de operaciones) para resolver todos los problemas de Diofantina.Hoy se sabe que no existe tal algoritmo en el caso general.
¿Qué pasa con todos los problemas de integración general resolubles, ya sea en forma cerrada o no (en este caso, me refiero a que no es la integral indefinida)? ¿Ha publicado algún matemático un artículo sobre esto?
Para un buen estudio de los problemas indecidibles, véase este artículo de Poonen.
En particular, a partir de la página 14, se discuten varios problemas indecidibles en el análisis. Por ejemplo, no existe ningún algoritmo para determinar si un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas (o una única ecuación diferencial parcial) tiene solución. Hay trabajos tempranos sobre esto de Richardson y de Adler, ambos lamentablemente detrás de muros de pago.
En el sentido positivo, hay que enunciar con cuidado el siguiente resultado, pero a grandes rasgos existe un algoritmo (el Algoritmo de Risch) para determinar si una función elemental tiene una antiderivada elemental.
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