Supongamos que $K$ es una extensión finita de $\mathbb Q$ , digamos de grado $n$ . Por el teorema del elemento primitivo, $K=\mathbb Q(\alpha)$ . Entonces $\alpha$ tiene $n$ conjugados y obtenemos correspondientemente $n$ incrustaciones de $K$ en $\mathbb C$ . Pero creo que todas estas incrustaciones deben tener las mismas imágenes en $\mathbb C$ (como ejemplo, $\mathbb Q(\sqrt 2)$ y $\mathbb Q(-\sqrt 2)$ son realmente el mismo campo). ¿Existe alguna relación entre el número de incrustaciones con imágenes distintas y el orden del grupo $Aut(K/\mathbb Q)$ ? Al trabajar algunos ejemplos, parece que si $|Aut(K/\mathbb Q)|=a$ y hay $b$ incrustaciones con imágenes distintas en $\mathbb C$ entonces $ab=n$ el grado de la extensión. ¿Es esto cierto? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Parece que no tengo mucho éxito. Agradecería alguna ayuda.
Respuestas
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Para una extensión algebraica $K/\mathbb{Q}$ de grado $n$ hay $n$ incrustaciones de $K$ en $\mathbb{C}$ , ver (El número de) incrustaciones de una extensión algebraica de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{C}$ . Por ejemplo, dejemos que $K=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ . Entonces $a=|Aut_{\mathbb{Q}}(K)|=2$ , $b=4$ y $n=4$ . Por lo tanto, $ab\neq n$ .
Sí, por supuesto que lo hay, y este es uno de los principales resultados en las extensiones de campo-Teoría de Galois.
Teorema: Si $\;K/F\;$ es una extensión de campos de grado $\;n\;$ y $\;S,\,F\subset S\subset K\;$ es el cierre separable de esta extensión, entonces hay $\;[S:F]\;$ diferentes incrustaciones $\;K\mapsto\overline{\Bbb F}\;$ cuando este último es cualquier campo algebraicamente cerrado que contiene $\;F\;$ ( podemos tomar el cierre algebraico de $\;F\;$ ) .
Si asumimos la extensión $\;K/F\;$ es finito y separable, entonces el número de incrustaciones es igual a $\;n=[K:F]\;$ si $\;K/F\;$ es normal , lo que supondría la ampliación $\;K/F\;$ es Galois . En este último caso, cualquier dicha incrustación es un automorfismo de $\;K/F\;$ , lo que significa $\;\sigma K=K\;$ para cualquier incrustación $\;\sigma:K\to\overline F\;$ y $\;\sigma f=f\;,\;\;\forall\,f\in F\;$ .
Tal vez un ejemplo sea apropiado. Dejemos que $p$ sea un polinomio de grado $3$ con coeficientes racionales y una raíz real $r$ y dos raíces complejas (conjugadas) ( $c$ y $\overline{c}$ ). El campo de división $F$ de $p$ es una extensión de grado $6$ y el grupo de Galois de $p$ es el grupo simétrico $S_3$ el grupo que permuta las tres raíces. El grupo de Galois está formado por los automorfismos de campo de $F$ . Por otro lado, el campo $M$ generado por la raíz $r$ es un subcampo de $F$ es de grado $3$ y no es normal. Los únicos elementos del grupo de Galois que dejan invariante este campo (y por tanto definen automorfismos en $M$ ) son las que permutan las otras dos raíces. Esto hace que $M$ tiene otras dos incrustaciones diferentes en $F$ que son imágenes de automorfismos de $F$ .
