Evaluación de la composición de campos tensoriales $g(X,J(Y))$

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad lisa, $g$ una métrica de Riemann y $J$ una estructura casi compleja en $M$ . Desde $g$ es un $(0,2)$ campo tensorial, obtenemos $$g(X,Y) \in C^\infty(M)$$ para todos $X,Y \in \mathfrak{X}(M)$ . Además, como $J$ es un $(1,1)$ campo tensorial tenemos que $$J(X) \in \mathfrak{X}(M)$$ Por lo tanto, $$g(X,J(Y))$$ está bien definida. Se puede demostrar que se trata de una $(0,2)$ campo de nuevo. Ahora mi pregunta es, ¿cómo se ve este campo tensorial? Es decir, si $u,v \in T_pM$ Yo diría que tenemos $$g_p(u,J_p(v))$$ ¿Es esto correcto? ¿Cómo se mostraría esto?

Answer 1

Creo que lo tengo: Deja que $p \in M$ y $u,v \in T_pM$ . Por el teorema de extensión de los campos vectoriales existe $X,Y \in \mathfrak{X}(M)$ , de tal manera que $X_p = u$ y $Y_p = v$ . Así, $$\begin{align*} \omega_p(u,v) &= \omega_p(X_p,Y_p)\\ &= \omega(X,Y)(p)\\ &= g(X,JY)(p)\\ &= g_p(X_p,(JY)_p)\\ &= g_p(u,J_pY_p)\\ &= g_p(u,J_pv).\end{align*}$$