Si tenemos una superficie de Riemann con puntuaciones de caracteres de Euler negativos, ¿cómo se puede definir una métrica hiperbólica completa?
Sé que en este caso la cubierta universal es el plano hiperbólico y tiene una métrica completa. ¿Proyectamos esta métrica a la superficie puntuada? Si es así, ¿por qué es completa?
Agradeceré profundamente si alguien da un ejemplo o una buena referencia.
Una buena referencia para esto es, por ejemplo, Kobayashi y Nomizu "Foundations of Differential Geometry". El resultado que buscas es: Si $M$ es una variedad completa de Riemann y $p: M\to M'$ es un mapa de cobertura (localmente) isométrico con respecto a otra variedad riemanniana, entonces $M'$ también está completo. Para demostrarlo, nótese que toda geodésica en $M'$ se eleva a una geodésica en $M$ . Dado que las geodésicas en $M$ se extienden a las geodésicas bi-infinitas, se concluye que $M'$ es geodésicamente completa. Ahora, utiliza el Teorema de Hopf-Rinow. En realidad, varias afirmaciones inversas a ésta también son ciertas, por ejemplo, si tanto $M, M'$ son completos y $p: M\to M'$ es un mapa localmente isométrico, entonces $p$ es un mapa de cobertura. Una prueba de esto es un poco más difícil.
Para ver cómo se obtienen las métricas completas, hay que saber lo suficiente de geometría hiperbólica como para saber qué es un triángulo ideal. Una vez que lo sepas, observa que cualquier triangulación puede estar hecha de triángulos ideales (normalmente de más de una manera). Comprobar la integridad es entonces un ejercicio ligeramente desafiante. Te sugiero que le eches un vistazo al libro de Bill Thurston, así como a "Geometry of Discrete groups" de Beardon, y al pequeño libro de S. Katok (como sugirió @Sue en otro lugar).
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