Estoy tratando de entender un determinado escenario y para ello me he sentado a calcular un ejemplo explícito. Al hacerlo, pude "demostrar" dos afirmaciones que se contradicen directamente, lo que (espero) no es posible. Me gustaría pedirles que me ayuden a encontrar mi error.
Dejemos que $n>2$ . Consideremos el anillo de polinomios $A=\mathbb{C}[x,y]$ y el elemento $a:=x+2$ . Establecer
$B := \mathbb{C}[x,y,u,v,w]/(u^n-x,v^n-y,w^n-a)$
Entendimiento clásico : $B$ es el anillo de coordenadas de la variedad afín
$Y=Z(u^n-x,v^n-y,w^n-x-2)\subset \mathbb{A}_{\mathbb{C}}^5$
y componiendo esta inclusión con la proyección $\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^5\to\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^2$ a las dos primeras coordenadas, obtenemos un mapa $\pi:Y\to\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^2$ . Para cualquier $\zeta\in\sqrt[n]{2}\subset\mathbb{C}$ el punto $(0,0,0,0,\zeta)$ está contenida en $Y$ , por lo que hay al menos $n$ preimágenes del origen $(0,0)\in\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^2$ en $\pi$ . De hecho, se puede comprobar fácilmente que hay exactamente $n$ preimágenes, pero no nos ocuparemos de ello.
Entendimiento moderno : El mapa canónico $f:A\to B$ induce un morfismo de variedades
$\pi:Y=\mathrm{Spec}(B)\to\mathrm{Spec}(A)=\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^2$ .
que viene dada por la retirada de los ideales primos a través de $f$ . Sea $P$ sea el ideal máximo de $A$ generado por $x$ y $y$ y, por tanto, la correspondiente al origen. Supongamos que $Q\subset B$ es un ideal primo tal que $f^{-1}(Q)=P$ es decir $Q\in\pi^{-1}(P)$ . Denotemos la imagen de $a\in\mathbb{C}[x,y,u,v,w]$ sur $B$ por $\overline{a}$ .
Desde $x\in P$ y $f(x)\in f(P)\subset Q$ tenemos $\overline{x},\overline{y}\in Q$ . Desde $\overline{u}^n=\overline{x}$ y $Q$ es primo (por tanto, radical), tenemos $\overline{u},\overline{v}\in Q$ y observamos que $Q':=(\overline{u},\overline{v})$ ya satisface $f^{-1}(Q')=P$ . Por lo tanto, por el teorema de Going-Up para extensiones integrales (Proposición 9.2 de Eisenbud), sabemos que $Q'$ es máxima, por lo que $Q'=Q$ . Alternativamente, se puede comprobar fácilmente que todos los elementos de $B$ se asignan a elementos de $\mathbb{C}$ en $p:B\twoheadrightarrow B/Q'$ : Esto está claro para $\overline{u}$ , $\overline{v}$ , $\overline{x}$ y $\overline{y}$ y tenemos
$p(\overline{w})^n=p(\overline{a})=p(2)=2$
así que $p(\overline{w})$ es algo $n$ -raíz de $2$ .
En cualquier caso, el punto $P$ tiene exactamente una preimagen bajo $\pi$ , a saber $Q=Q'$ .
Por lo tanto, entiendo que describo el mismo escenario en diferentes idiomas, por lo que el origen debe tener uno de los dos o $n$ preimágenes, pero ambos no pueden ser el caso.
