Cómo se calcula $\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \,\mathrm{d} x$ ?

Question

Tal como dice el título, considera la integral: $$I=\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \,\mathrm{d} x=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \,\mathrm{d} x,$$ cómo aplicar el teorema del residuo para obtener la respuesta?

Answer 1

Una pista:

$$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sin^2(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x &=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac18\int_{-i-\infty}^{-i+\infty}\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}-2}{x^2}\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac18\left(\int_{\gamma_+}\frac{e^{2ix}-1}{x^2}\,\mathrm{d}x +\int_{\gamma_-}\frac{e^{-2ix}-1}{x^2}\,\mathrm{d}x\right)\tag{1} \end{align} $$ donde $\gamma_+$ va de $-i-R$ a $-i+R$ y luego vuelve a girar en sentido contrario a las agujas del reloj en $-i+Re^{i\theta}$ para $\theta\in[0,\pi]$ como $R\to\infty$ y donde $\gamma_-$ va de $-i-R$ a $-i+R$ y luego vuelve a girar en el sentido de las agujas del reloj en $-i+Re^{-i\theta}$ para $\theta\in[0,\pi]$ como $R\to\infty$ .

Cada una de las integrales en $(1)$ se puede manejar fácilmente con el teorema del residuo.

Answer 2

$$\int_{0}^{\infty}\frac{(\sin x)^2}{x^2}dx=-\int_{0}^{\infty}(\sin x)^2{d\frac{1}{x}}=-\frac{(\sin x)^2}{x}\Bigg|^{\infty}_{0}+\int_{0}^{\infty}\frac{(2\sin x\cos x)}{x}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{(\sin2x)}{2x}d2x=\ldots$$