Derivando reglas de Feynman a partir de un Lagrangiano para factores de vértice para interacciones "más complicadas"

Question

Estoy tratando de derivar las reglas de Feynman a partir de una Lagrangiana dada y me quedé atascado en algunos factores de vértice. ¿Cuál es, por ejemplo, el factor de vértice que corresponde a la interacción de cuatro escalares que está descrita por la siguiente Lagrangiana?

\begin{equation} L = -\frac{1}{4} g_3^2 \phi^\dagger \lambda^a \phi \chi^\dagger \lambda^a \chi + \frac{2}{9} g_1^2 \phi^\dagger \phi \chi^\dagger \chi \,, \end{equation}

donde $\phi,\chi$ son campos escalares complejos (tripletes de color), $\lambda^a$ son las matrices de Gell-Mann, y $g_1,g_3$ son las constantes de acoplamiento correspondientes a $\text{U}(1)$ y $\text{SU}(3)$ respectivamente.

Si solo hubiéramos tenido el segundo término aquí, digamos, entonces el factor de vértice se encontraría simplemente "cayendo" los campos y multiplicando por $i$. Pero ahora hay dos términos que contribuyen, y en el primer término las matrices de Gell-Mann incluso mezclan los componentes de color de los tripletes escalares. ¿Entonces cómo procedo en este caso?

¿Y alguien podría darme algunas estrategias generales sobre cómo derivar factores de vértice para interacciones "complicadas"? Por ejemplo, también encuentro difícil obtener el signo correcto si hay una derivada en una interacción.

(Si está interesado en el contexto de esta Lagrangiana, para $\phi = \tilde{u}_R$ y $\chi = \tilde{d}_R$ esta Lagrangiana describe la interacción entre dos squarks up y dos squarks down en una teoría supersimétrica.)

Answer 1

Puedes calcular la regla de Feynman para el vértice $\phi$-$\phi$-$\chi$ tomando $$e^{-i \int \mathrm d^4x L_\mathrm{full} }\frac{\delta}{\delta \phi^a} \frac{\delta}{\delta \phi^b} \frac{\delta}{\delta \chi^c} e^{i\int \mathrm d^4x L_\mathrm{full}}$$ donde $L_\mathrm{full}$ es la suma de los Lagrangeanos libre e de interacción y luego eliminar cualquier propagador conectado a grados de libertad externos.

Answer 2

Si tienes dos términos entonces tendrás dos vértices que contribuyen a un determinado gráfico.

Para tu primer término, por lo que yo entiendo, tendrías un vértice para $\phi_i+\chi_j\to\phi_k+\chi_l$ dado por $\propto g_3^2(\lambda^a)_{ik}(\lambda^a)_{jl}$.

La receta general para derivar las reglas de Feynman es alimentar tu Lagrangiano en la integral de camino y ver qué propagadores / vértices resultan.

No puedo ayudarte con los signos porque nunca los obtengo correctamente. Pero la integral de camino podría decirte eso si sigues con la computación.

Nota que entonces, si quieres agregar la contribución total para el $\phi_i+\chi_j\to\phi_k+\chi_l$ entonces el segundo término te daría exactamente el mismo tipo de vértice, pero ahora reemplaza las matrices de Gell-Mann con matrices unitarias.