Factorización de $f(x) = x^n - 1$ en polinomios irreducibles $\mathbb{R}[x]$

Question

Sabiendo que $e^{2\pi i \frac{k}{n}} = \cos(2 \pi k/n) + i \sin(2 \pi k/n) = \alpha $ son raíces complejas de $f(x) = x^n - 1$ y por tanto la factorización compleja es

\begin{align} f(X) &= \displaystyle\prod^{n - 1}_{k = 0} (x - \alpha_k) \end{align}

¿Cómo puedo factorizar en polinomios irreducibles en $\mathbb{R}$ para impar e incluso n's? Sé que para $(x-1) \mid f(x)$ para todo n y si n es par $(x+1)\mid f(x)$ también. También soy consciente de que $(x - \alpha)(x-\bar{\alpha})$ es un polinomio irreducible en $\mathbb{R}$ que también divide $f(x)$ . Por lo tanto, los factores restantes tienen en su mayoría la forma $x^2 - 2x\cos(2 \pi k/n) + 1$ . Pero no veo qué k hay que utilizar en la factorización?

Answer 1

Muy sencillo, tienes dos casos:

• Si $n$ está en paz: $n=2m$ las raíces complejas son conjugadas por pares, excepto para $k=0$ y $k=m$ por lo que la factorización es $$x^{2m}-1=(x-1)(x+1)\prod_{k=1}^{m-1}\Bigl(x^2-2\cos\frac{2k\pi}n x+1\Bigr).$$
• Si $n$ es impar: $n=2m+1$ son conjugados por pares, excepto por $k=0$ por lo que obtenemos $$x^{2m+1}-1=(x-1)\prod_{k=1}^{m}\Bigl(x^2-2\cos\frac{2k\pi}n x+1\Bigr).$$

Answer 2

Si entiendo bien su pregunta, si $\exp[2\pi ik/n]$ tiene una componente imaginaria distinta de cero, re $\sin[2\pi k/n]$ entonces tienes que combinarlo con su conjugado complejo. De lo contrario, puedes dejarlo solo.

Apéndice Respondiendo al comentario del OP:

Dejemos que $c_1 \equiv \cos(2\pi/5), ~c_2 \equiv \cos(4\pi/5).$
Dejemos que $s_1 \equiv \sin(2\pi/5), ~s_2 \equiv \sin(4\pi/5).$

Entonces $(z^5 - 1)$ factores en
$(z-1) ~\times $
$(z - [c_1 + i(s_1)]) ~\times~ (z - [c_1 - i(s_1)]) ~\times $
$(z - [c_2 + i(s_2)]) ~\times (z - [c_2 - i(s_2)]).$

Esto equivale a
$(z-1) ~\times $
$[z^2 - (2c_1)z + ([c_1]^2 + [s_1]^2)] ~\times~ $
$[z^2 - (2c_2)z + ([c_2]^2 + [s_2]^2)].$

Esto equivale a
$(z-1) ~\times $
$[z^2 - (2c_1)z + (1)] ~\times~ $
$[z^2 - (2c_2)z + (1)].$