Estaba revisando algunas preguntas del proyecto-euler y me encontré con una que decía
Todo número compuesto impar puede escribirse como la suma de un primo y dos veces un cuadrado... Se ha demostrado que esto es falso.
Entonces, resolví el problema a través de fuerza bruta en Java pero me preguntaba cómo puedo hacer esto en papel? Por favor, no me des la respuesta, sólo algunas pistas
Gracias.
Algunas pruebas de que una afirmación teórica de los números como esa no es cierta equivalen básicamente a encontrar un contraejemplo. Eso no quiere decir que no haya un enfoque analítico elegante, pero la afirmación de que se ha demostrado que esto es falso podría ser simplemente una referencia al hecho de que alguien ha encontrado un número que no puede escribirse de esa manera, y ha demostrado que también encaja por fuerza bruta.
He aquí algunas observaciones, que no responden directamente a la pregunta de cómo exponer su contraejemplo sobre el papel, sino que sugieren algunas formas de pensar en su pregunta, y en su solución.
Al leer el título de esta pregunta, pero antes de leer el cuerpo del post, pensé que esta afirmación no podía ser cierta. Mi razonamiento fue el siguiente:
dado un entero impar $N$ Sólo hay $[\sqrt{N/2}]$ números tales que $2x^2 \leq N,$ y escribir $N = 2 x^2 + \text{ prime },$ para uno de estos $[\sqrt{N}/2]$ números $x$ necesitaríamos $N - 2 x^2$ para ser primo.
Por el teorema de los números primos, sabemos que los primos de $2$ a $N$ están bastante repartidos; aproximadamente $1/\log N$ de ellos es primordial. Así que no parece muy probable que el $[\sqrt{N}/2]$ valores $N - 2 x^2$ siempre debe cumplir con los requisitos más o menos $N/\log N$ primos entre $2$ y $N$ (donde por toujours Me refiero a cada valor de $N$ ).
Se puede comparar con la conjetura de Goldbach: es es que se espera que sea cierto que cualquier $N$ puede escribirse como la suma de dos primos, y se da un argumento heurístico a favor de Goldbach aquí si lo comparas con tu pregunta, puedes observar que la probabilidad de que un número sea dos veces cuadrado es mucho menor que la probabilidad de que sea primo (aproximadamente $1/\sqrt{x}$ contra. $1/\log x$ ), por lo que el argumento heurístico dado allí, adaptado a su pregunta, sugeriría que debería ser falso.
Una vez que se sospecha que la respuesta a una pregunta como ésta debe ser falsa, hay al menos dos posibilidades: intentar refinar el argumento heurístico para estimar el tamaño probable del primer contraejemplo, o simplemente empezar a calcular para encontrar un contraejemplo. A menos que la primera opción sea completamente sencilla, tiene sentido seguir primero la segunda opción; sólo si no produce el contraejemplo deseado después de algún tiempo tendría sentido volver al argumento heurístico e investigarlo con más cuidado. Me imagino que en tu caso no tardaste en encontrar que $5777$ era un contraejemplo, y (como ya he escrito) encontrarlo mediante una búsqueda informática tiene mucho sentido como enfoque.
Añadido: Ver los comentarios a la respuesta de Gerry Myerson para una discusión más cuidadosa del argumento heurístico anterior, que sugiere que si $N$ es lo suficientemente grande, entonces debería ser posible para escribir $N =$ prime $+ 2 x^2$ . (La cuestión es que $(1 - 1/\log N)^{\sqrt{N/2}}$ tiende a $0$ como $N$ se hace grande).
Los números Impares que no se pueden escribir como $p+2n^2$ , $p$ primo, han sido tabulado . Sólo se conocen 10, y se cree que la secuencia es finita. Sólo 2 de los 10 son compuestos, 5777 y 5993.
Si hubiera una infinidad de tales números, habría alguna esperanza de encontrar una fórmula que diera infinitamente muchos de ellos (esto sucede, por ejemplo, para los números Impares que no se pueden escribir como $p+2^n$ ). Si sólo hay un número finito, probablemente no hay manera de encontrarlos más que tropezar con ellos por medio de la computación, y no hay manera de probar que tienes uno más que restar cada $2n^2$ a partir de ella y comprobando la primalidad.
Esto no debería ser demasiado oneroso para 5777. $5777/2=2888.5$ , $\sqrt{2888.5}\lt\sqrt{2916}=54$ Así que sólo tienes que mirar los números $5777-2\times2^2,5777-2\times4^2,5777-2\times6^2,\dots,5777-2\times52^2$ 26 números de 4 dígitos en total, y comprueba la primalidad de cada uno de ellos. Eso debería ser algo que una persona podría hacer en papel.
Encontrará la respuesta a su pregunta aquí .
Parece que la fuerza bruta es la forma de hacerlo.
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