He pensado en hacerlo escribiendo $\tanh(x)$ como $(1-e^{-2x})/(1+e^{-2x})$ y luego utilizando la serie de Maclaurin para $e^{x}$ o simplemente como $\sinh(x)/\cosh(x)$ y utilizando la serie Maclaurin para $\sinh(x)$ y $\cosh(x)$ pero no obtengo los mismos resultados. Puedo hacerlo evaluando las derivadas pero no estoy seguro de que sea la forma más eficiente, que es lo que necesito. $$ \tanh(x)=\frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}=\frac {1-e^{-2x}} {1+e^{-2x}} $$ Lo entiendo: $$ \tanh(x)=\frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}=\frac {x+\frac {x^3} {3!}+\frac {x^5} {5!}+\dots} {1+\frac {x^2} {2!}+\frac {x^4} {4!}+\dots} $$ y $$ \tanh(x)=\frac{1-e^{-2x}} {1+e^{-2x}}=\frac{1-(1-2x+\frac{4x^2}{2!}+\dots)} {1+(1-2x+\frac{4x^2}{2!}+\dots)}=\dots $$ que no me parecen iguales.
Respuesta
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Tenga en cuenta que $$\frac{d}{dx}\tanh x=1-\tanh^2 x$$ y $$f(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i$$ es la serie de Taylor donde podemos tener en alguna serie $a=0$ . Con algunos wowrk se consigue $$\tanh x=\sum_{i=1}^\infty \frac{B_{2i}4^i(4^i-1)}{(2i)!}x^{2i-1}$$ Donde $B_j$ es el Números de Bernoulli
