Convergencia de funciones medibles en un espacio localmente compacto

Question

Set $(X,\mathcal{B})$ un espacio medible. Si $f:X\rightarrow[0,\infty)$ es una función medible, entonces existe una secuencia de funciones simples $\{s_n\}_{n\geq1}$ tal que

$$0\leq s_1 \leq s_2\leq \ldots \leq s_n\leq\ldots\leq f$$ e

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}s_n(x).$$

¿Qué ocurre si X es localmente compacto?

En este caso, puedo tomar por cada $n\in\mathbb{N}$

$s_n(x)=\sum_{k=1}^mc_k{1}_{A_k}(x)$

donde $A_k$ ¿es compacto?

Answer 1

Esto no es posible, excepto quizás en los casos en que la topología de $X$ es algo degenerado. Recordemos que un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ se dice que $F_\sigma$ si $A$ es una unión contable de conjuntos cerrados. Si $X$ es un espacio polaco incontable, entonces existen subconjuntos de Borel de $X$ que no son $F_\sigma$ . Creo que esto debería ser cierto en mayor generalidad que los espacios polacos, pero no estoy seguro de cuáles son las condiciones adecuadas para garantizar la existencia de tales conjuntos.

No es difícil ver que si $A \subseteq X$ es medible, entonces se puede encontrar una secuencia de funciones simples como en su pregunta para $f = \mathbf{1}_A$ sólo si $A$ es $F_\sigma$ . De hecho, si vamos a tener $\lim_{n \to \infty} s_n(x) = \mathbf{1}_A(x)$ para todos $x$ entonces debemos tener eventualmente $s_n(x) > 0$ para todos $x \in A$ . Desde $0 \leq s_n \leq \mathbf{1}_A$ siempre tenemos $s_n(x) = 0$ para $x \notin A$ . De esto se deduce que la unión de los soportes de $s_n$ es igual a $A$ . Por lo tanto, si el soporte de cada $s_n$ es compacto, entonces $A$ es $F_\sigma$ .