Convergencia de una integral para cada curva de la esfera

Question

Dejemos que $S$ sea la esfera abierta unitaria en $\mathbb{R}^3$ : $x^2+y^2+z^2< 1$ y $\partial S$ su frontera $x^2+y^2+z^2= 1$ . Sea $f:S\cup \partial S\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua idéntica a cero en $\partial S$ .

Dejemos que $\gamma:[0,1]\rightarrow S\cup \partial S$ , $t\mapsto (\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))$ ser un $C^1$ -curva tal que $\gamma(t)\in S$ por cada $t\in [0,1)$ y $\gamma(1)\in \partial S$ .

Como señaló el usuario Julián Aguirre, la condición $f|_{\partial S}\equiv 0$ NO es suficiente decir que para cada $\gamma$ como antes la integral $\int_0^1\frac{\sqrt{\dot\gamma_1(t)^2+\dot\gamma_2(t)^2+\dot\gamma_3(t)^2}}{f(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))}dt$ es infinito (con $\dot\gamma_i$ Es decir $\frac{d}{dt}\gamma_i$ ). Pregunta: en la que las condiciones adicionales sobre $f$ ¿podemos estar seguros de que la integral es infinita?

Si el problema fuera unidimensional la integral habría sido $\int_0^1\frac{\dot\gamma(t)}{f(\gamma(t))}dt=\int_{\gamma(0)}^{\gamma(1)}\frac{dx}{f(x)}$ que es finito si $f$ llega a cero en $\gamma(1)$ como $x^\alpha$ con $0<\alpha<1$ . Supongo que este argumento puede extenderse a $\mathbb{R}^3$ pero no sé cómo formalizarlo.

Answer 1

No. Considere el siguiente ejemplo, que es esencialmente el caso unidimensional: $\gamma(t)=(0,0,t)$ , $f(x,y,z)=(1-\sqrt{x^2+y^2+z^2})^\alpha$ , $\alpha>0$ . Entonces $$ \int_0^1\frac{\sqrt{\dot\gamma_1(t)^2+\dot\gamma_2(t)^2+\dot\gamma_3(t)^2}}{f(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))}\,dt=\int_0^1\frac{1}{(1-t)^\alpha}\,dt, $$ que es finito si $\alpha<1$ .