¿Cómo demostrar la definición positiva?

Question

$B_{(n+1)(n+1)}$ = $ \begin{bmatrix} A & u \\ u^T & 1 \\ \end{bmatrix}$

se da, y $A$ es una matriz definida positiva cuya factorización Cholesky viene dada por $A=L*L^T$ fórmula. $A$ es $n\times n$ matriz y $u$ es un n_vector.

Asumiendo ahora $\|L\|^{-1}\leq 1$ Necesito demostrar que $B$ es una definida positiva para todo $\|u\|<1$ .

Merci

Answer 1

Por el complemento de Schur condición para la definición positiva, $B$ es positiva definida si $A$ es positiva definida y $1 - u^T A^{-1} u > 0$ . Ahora, \begin{align*} |u^T A^{-1} u | &\leq \| u \| \| A^{-1} u \| \quad \text{(by Cauchy Schwarts)} \\ &\leq \|u\| \|L^{-T}\| \|L^{-1}\| \|u\| \\ &< 1. \end{align*} (En el último paso, utilizo $\|u\| < 1$ y $\| L^{-1} || = \|L^{-T} \| \leq 1$ .)

Esto demuestra que $1 - u^T A^{-1} u > 0$ Así que $B > 0$ .

Answer 2

Asumiré que $\|L\|$ se refiere a la norma del operador, y que $\|u\|$ se refiere a la norma de Frobenius.

Tal y como está formulada la pregunta, no es cierto que $B$ es positiva definida. Sea $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1/2\end{bmatrix}$, $u=\begin{bmatrix}0\\3/4\end{bmatrix}$ . Entonces $L=\begin{bmatrix}1&0\\0&1/\sqrt2\end{bmatrix}$, and $$ B=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1/2&3/4\\0&3/4&1\end{bmatrix} $$ no es positiva definida, ya que $$ \begin{bmatrix}0\\1\\-1/2\end{bmatrix}^TB\begin{bmatrix}0\\1\\-1/2\end{bmatrix}=-\frac18 $$