Teoría K del cisne de Z/4

Question

Dado un grupo finito $G$ y un anillo conmutativo $R$ , definen el Cisne $K$ -teoría $K_0(G, R)$ para ser el grupo Grothendieck de la categoría proyectiva finitamente generada $R$ -módulos con $G$ -(con respecto a todas las secuencias cortas exactas). Cuando $R = \mathbb{C}$ Esto recupera el anillo de representación clásico. Cuando $R = \mathbb{F}_p$ y $G$ es un $p$ -grupo, se obtiene $\mathbb{Z}$ para el Cisne $K$ -(todo se construye mediante secuencias exactas cortas a partir de la representación trivial).

¿Existen cálculos en la literatura cuando $R$ no es regular en característica modular? Me interesa el ejemplo $G = C_2, R = \mathbb{Z}/4$ para empezar. Puede ser difícil clasificar las representaciones de $C_2$ en libre $\mathbb{Z}/4$ -módulos pero espero que sea un poco más fácil de entender el Cisne $K$ -Teoría.

Answer 1

Parece que hay una clasificación de representaciones para el ejemplo que mencionas (y más generalmente para las representaciones de $C_p$ en $\mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z}$ ) en

V. S. Drobotenko, E. S. Drobotenko, Z. P. Zhilinskaya y E. V. Pogorilyak, Representaciones de grupos cíclicos de orden primo $p$ sobre anillos de clases de residuos mod $p^s$ , Ukrain. Mat. Z. 17 (1965), 28-42. MR0188304 .

No he podido encontrar una copia del artículo, que está en ruso, pero si entiendo bien la reseña en Math Reviews, parece que las representaciones indecomponibles, hasta el isomorfismo, son las siguientes:

1. Para cada polinomio irreducible mónico $\varphi(x)$ en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y cada $e\geq1$ , una representación que envía el generador de $C_2$ a $I+2X$ , donde $X$ es una matriz compañera de $\varphi(x)^e$ .
2. Para cada polinomio irreducible mónico $\varphi(x)$ en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y cada $e\geq1$ , una representación que envía el generador de $C_2$ a $-I+2X$ , donde $X$ es una matriz compañera de $\varphi(x)^e$ .
3. La representación regular.

Todas ellas son no isomórficas, excepto que las representaciones de rango uno dadas por (1) y (2) son iguales.

Las representaciones que son irreducibles (en el sentido de no tener $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ -libres) son las que aparecen en (1) y (2) para $e=1$ . Quizás $K_0(G,R)$ será $\mathbb{Z}$ -libre en las clases de estos?

Editar: No creo que el enunciado de la clasificación pueda ser del todo correcto, ya que me parece que las representaciones dadas en (1) son isomorfas a las dadas en (2):

Dejemos que $X$ sea la matriz compañera, sobre $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ de un polinomio $p(t)$ y que $Y$ sea la matriz compañera de $p(t+1)$ . Entonces $I+X$ tiene un polinomio mínimo y característico $p(t+1)$ y por lo tanto es similar a $Y$ . Así que $(I+X)A=AY$ para alguna matriz invertible $A$ .

Ascensor $A$ a una matriz $\tilde{A}$ en $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ . Entonces $\tilde{A}$ es automáticamente invertible, y $(I+2X)\tilde{A}=\tilde{A}(-I+2Y)$ Así que $\tilde{A}$ da un isomorfismo entre la representación donde un generador de $C_2$ actúa como $I+2X$ y el que actúa como $-I+2Y$ .