explicando el derivado de $x ^ x$

Question

Se establece el siguiente ejercicio para su clase de cálculo:

Q1. Diferenciar $y(x) = x^x$.

Un estudiante presenta la siguiente solución:

Deje que $g(a)=a^x$ y $f(x)=x$. A continuación, $y(x) = g(f(x))$, entonces por la regla de la cadena, $y'(x) = f'(x) g'(f(x)) = 1 \cdot x \cdot (x^{x-1}) = x^x$.

¿Cómo explicar a los estudiantes por qué su solución es incorrecta?

Para ser claro, yo sé por qué esto está mal, pero estoy interesado en una buena manera de explicarle a la licenciatura o estudiantes de la escuela secundaria.

En esta pregunta alguien tiene problemas para diferenciar $x^x$, pero que no se tome el enfoque de mi hipotético estudiante.

Answer 1

Trate de ir a través de la discusión incorrecta con $g(a) = \dfrac ax$.

Entonces tenemos $g(f(x)) = 1$ pero $f'\cdot (g'(f(x)) x) = \dfrac x 1$.

En este punto mayoría de los estudiantes a intentar explicar por qué su argumento es diferente del suyo, y por qué no sus obras de argumento sino la tuya. Si no se les puede dar un poco de apoyo para encontrar el agujero en su versión de la discusión.

De esa manera el estudiante hará todo el trabajo para usted, que es una buena manera de aprender.

Answer 2

Mi intento de proceder a lo largo de las siguientes líneas.

Se define $g(a) = a^x$; desde el $x$ no se produce como un argumento a la función, se toma como constante. Esto no es consistente con la diferenciación de nuestra expresión con respecto a $x$.

Por lo tanto, la función $g$ en realidad debería admitir que $x$ como un parámetro: $g(a,x) = a^x$.

En que punto nos encontramos con la dificultad de la regla de la cadena para la diferenciación parcial no está disponible (a pesar de este enfoque, dando un aspecto muy limpio, la solución universal para la diferenciación de las expresiones con varias apariciones de la correspondiente variable).

Me puedo imaginar a dos razonable de los cursos de acción a partir de aquí:

• Indicar el "estándar" de la escuela secundaria de la solución a través de $x^x = \exp(x\log x)$;
• Introducir el más complicado de la regla de la cadena, lo que ilustra que, por ejemplo, mediante la derivación de la regla del producto.

Answer 3

Primero de todos, el estudiante presenta la función $g$ que es dependiente de $a$ y $x$. Pero pasa por alto el valor de $x$ de la dependencia en su solución. Pero si él lo había hecho correctamente se podría haber trabajado:

$$g:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}:(a,x)\a^x$$

Entonces $h(x)=g(f(x),x)$ y

$$h'(x)=\frac{\partial g}{\parcial}\!\! \left(f(x),x\right)\frac{df}{dx}+\frac{\partial g}{\partial x}\!\! \left(f(x),x\right)\frac{dx}{dx}\\ x = x^{x-1}+x^x \ln x = x^x(1+\ln x) \; .$$

Por supuesto, esta es una explicación que podría conseguir sólo si está familiarizado con derivadas parciales.

Answer 4

Así, un primer paso importante es convencerlos de que su argumento es, de hecho, mal. Una simple apelación al sentido geométrico de la derivada puede ser muy útil en este sentido. Esto no sólo proporcionan una muy clara y fácil de entender demostración de la incorrección de su resultado, sino que también anima a pensar acerca de la derivada en más de una forma. Demasiado a menudo los estudiantes en este nivel pensar puramente algebraica, sin graves geométricas consideración.

Así que empieza con una simple trama de la gráfica de $x^x$, lo que cualquier persona razonable software matemático debe ser capaz de proporcionar:

Ahora, en el gráfico se encuentra completamente por encima de la $x$-eje, por lo que el valor de la función es siempre positiva. La pendiente de la gráfica es claramente negativo, sin embargo, justo a la derecha de la $$y-eje. Por lo tanto, no hay manera de que esta función puede ser su propia derivada.

Answer 5

Trato de explicar que la notación $h'$ no sólo significa el derivado de $h$ pero el derivado de $h$ con respecto a alguna variable particular, la variable está determinada por el contexto. En la respuesta del estudiante, $y'$ es $dy/dx, pero $g$ ' $ es $dg/da$, cuando lo que se necesita es $dg/dx$.