Informática $\int \tan(x)\,dx$ utilizando la fórmula de Euler

Question

Intenté integrar el $\tan(x)$ sustituyendo la fórmula de Euler en $\tan x = \sin(x)/\cos(x)$ . La integración dio como resultado la expresión $\ln(2\cos(x))$ lo que obviamente no es correcto, ya que al integrar $\tan(x)$ debe producir $-\ln(\cos(x))$ . He utilizado la sustitución $t=(e^{ix} + e^{-ix})$ , y cuando inserté $\ln(e^{ix} + e^{-ix})$ como la solución de la integral en Wolfram|Alpha, me dio el resultado $-\ln(2\cos(x))$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Utilizando la identidad de Euler, la integral de $\tan(x)$ es

$$\begin{align} \int \tan(x) dx &= \int \frac{\frac{1}{2i} (e^{ix}-e^{-ix})}{\frac{1}{2} (e^{ix}+e^{-ix})} dx \\ &=-i\int \frac{(e^{ix}-e^{-ix})}{(e^{ix}+e^{-ix})} dx \\ &=(-i)(-i)\int \frac{d\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)}{(e^{ix}+e^{-ix})}\\ &=-\log(e^{ix}+e^{-ix})+C\\ &=-\log(2\cos(x))+C\\ &=-\log(\cos(x))+C' \end{align}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\int \frac{-\frac{d}{dx}\cos x}{\cos x}dx=-\int \frac{\frac{d}{dx}\cos x}{\cos x}dx=-\ln|\cos x|+c.$$