Demostrando que K es el único subgrupo de G que tiene orden |K|

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito con $K$ siendo un subgrupo normal de $G$ . Si $(|K|, [G : K]) = 1$ , demuestre que $K$ es el único subgrupo de $G$ tener orden $|K|$ .

Answer 1

Consideremos el mapa cociente $p: G\rightarrow G/K$ y que $L$ sea un subgrupo que tenga el mismo orden que $K$ El orden de $p(L)$ divide $|K|$ (ya que es el cociente del orden de $L$ y el orden de la restricción de $p$ t $L$ ) y $|G/L|=[G:K]$ (ya que $p(L)$ es un subgrupo de $G/K$ ), ya que $gcd(|K|, [G:K])=1$ deducimos que $|p(L)|=1$ y $L\subset K$ , $L=K$ desde $L$ y $K$ tienen la misma cardinalidad.