convergencia débil/vaga

Question

Estoy tratando de entender la "convergencia vaga/débil" y necesito decidir si una medida converge vaga o débilmente. La convergencia débil implica convergencias vagas. Sin embargo, no entiendo muy bien todo el asunto.

La medida $\delta_n$ converge vagamente pero no débilmente, pero no puedo ver cómo funciona eso si tomo la definición de convergencia débil/vaga

convergencia débil : $\int f(x)\, \mu_n(dx) \stackrel{n\rightarrow\infty}{\to} \int f(x)\, \mu(dx)\, f \in C_b$

convergencia vaga : $\int f(x)\, \mu_n(dx) \stackrel{n\rightarrow\infty}{\to} \int f(x)\, \mu(dx)\, f \in C_0$

Si tomo el $\delta_n$ desde arriba tengo

$\int f(x)\, \delta_n\,(dx) \stackrel{n\rightarrow\infty}{\to} \int f(x)\, \delta_{\infty}(dx)$

¿Cómo se toma el límite?

¿Calculo la integral en cada n mientras $n\rightarrow \infty$ , digamos que si $f(x) \in C_b$ (por ejemplo $f \equiv 1)$ Siempre consigo $1$ pero en algunos $n$ Me sale $0$ desde $f(x)$ está acotada y, por tanto, no converge débilmente?

¿Cómo es el caso vago?

jed

Answer 1

Observe que $\int fd\delta_n=f(n)$ para todos $n$ . Existen funciones continuas acotadas en la recta real para las que la sucesión $(f(n),n\geqslant 1)$ no converge (como $f(x):=\cos(\pi x)$ ).

Sin embargo, cuando $f$ desaparece en el infinito, $f(n)\to 0$ por definición, lo que demuestra la vaga convergencia a la medida nula.