Actualización. La respuesta a la pregunta principal para $d\geq 3$ es positivo. Para $d=1$ es fácil demostrar que la respuesta es negativa. ¿Cuál es la respuesta para $d=2$ ?
Pregunta principal. Dejemos que $\mathbb{N}$ sea el conjunto de enteros positivos. ¿Existe $d\in\mathbb{N}$ de tal manera que hay puntos distintos por pares puntos $x_1$ , $y_1$ , $x_2$ , $y_2$ , $\ldots$ en $\mathbb{R}^d$ tal que
(i) $\left\|x_i-y_i\right\|_2 >1$ por cada $i\in\mathbb{N}$ ,
(ii) $\left\|x_i-y_j\right\|_2<1$ para todos $i,j\in\mathbb{N}$ tal que $i\neq j$ ,
(ii) $\left\|x_i-x_j\right\|_2<1$ y $\left\|y_i-y_j\right\|_2<1$ para todos $i,j\in\mathbb{N}$ ?
Aquí, $\|\bullet\|_2$ es la norma euclidiana habitual en $\mathbb{R}^d$ .
Interpretación alternativa. Dejemos que $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ y $b_1$ , $b_2$ , $b_3$ , $\ldots$ sean dos colecciones contablemente infinitas de personas. Supongamos que $a_i$ y $b_i$ tienen una orden de alejamiento entre ellos por cada $i=1,2,3,\ldots$ . Ninguna otra pareja tiene una orden de alejamiento. Sin embargo, cada persona es amiga de todas las demás, excepto de aquella contra la que tiene una orden de alejamiento. Para una dimensión fija $d\in\mathbb{N}$ ¿es posible organizar a estas personas en el $d$ -espacio euclidiano de forma que la distancia entre cada par de amigos sea menor que $1$ pero la distancia entre cada pareja con una orden de alejamiento es mayor que $1$ ?
Esta pregunta se basa en Problema relacionado con la teoría de los gráficos, gráfico de distancia unitaria, pares de personas con órdenes de alejamiento . Si necesitamos un número finito de puntos, la respuesta es positiva. Si necesitamos un número incontable de puntos, la respuesta es negativa. Por lo tanto, me pregunto qué ocurre si hay un número infinito de puntos.
Pregunta relacionada: Dejemos que $J$ sea un conjunto de índices. Para una cardinalidad dada de $J$ ¿existen pares distintos de puntos $x_i$ y $y_i$ para $i\in J$ en el espacio real de Hilbert $\ell^2(\mathbb{N},\mathbb{R})$ tal que
(i) $\left\|x_i-y_i\right\|_2 >1$ por cada $i\in J$ ,
(ii) $\left\|x_i-y_j\right\|_2<1$ para todos $i,j\in J$ tal que $i\neq j$ ,
(ii) $\left\|x_i-x_j\right\|_2<1$ y $\left\|y_i-y_j\right\|_2<1$ para todos $i,j\in J$ ?
Aquí, $\|\bullet\|_2$ es el habitual $2$ -normas sobre $\ell^2(\mathbb{N},\mathbb{R})$ .
Intento de pregunta principal.
Supongamos que $S:=\big\{x_1,y_1,x_2,y_2,\ldots\}\subseteq\mathbb{R}^d$ satisface las propiedades requeridas anteriormente. Observamos que $S$ es un conjunto acotado, por lo que, debido al Teorema de Heine-Borel, su cierre topológico $\bar{S}$ es compacto, por lo que también es secuencialmente compacto. Por lo tanto, la secuencia $\left\{x_i\right\}_{i\in\mathbb{N}}$ tiene una subsecuencia $\left\{x_{i_j}\right\}_{j\in\mathbb{N}}$ convergiendo a un punto $u$ en $\bar{S}$ . Ahora, la secuencia $\left\{y_{i_j}\right\}_{j\in\mathbb{N}}$ tiene una subsecuencia $\left\{y_{i_{j_k}}\right\}_{k\in\mathbb{N}}$ convergiendo a un punto $v\in\bar{S}$ . Denotamos $u_k$ para $x_{i_{j_k}}$ y $v_k$ para $y_{i_{j_k}}$ para todos $k\in\mathbb{N}$ . Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\,u_k=u$ y $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\,v_k=v$ .
Tenga en cuenta que $\left\|u_i-v_i\right\|_2 >1$ y $\left\|u_i-v_j\right\|_2<1$ para todos $i,j\in\mathbb{N}$ tal que $i \neq j$ . Así, $$\left\|u-v_j\right\|_2=\displaystyle \lim_{k\to\infty}\,\left\|u_k-v_j\right\|_2\leq 1 \text{ and }\left\|u_i-v\right\|=\displaystyle\lim_{k\to\infty}\,\left\|u_i-v_k\right\|_2\leq 1$$ para todos $i,j \in \mathbb{N}$ . Ergo, $\|u-v\|_2=\displaystyle\lim_{j\to\infty}\,\left\|u-v_j\right\|_2\leq 1$ . Sin embargo, $$\|u-v\|_2=\displaystyle\lim_{i\to\infty}\,\left\|u_i-v_i\right\|_2\geq 1\,.$$ Eso es, $\|u-v\|_2=1$ .
